Номер 16, страница 104 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Чему равна площадь трапеции ABCD (рис. 22.8), если площадь закрашенного треугольника равна 3 см?

a)

$AD = 2BC$

б)

$AD \parallel OC, BC \parallel OD$

в)

$M - \text{середина } AB$

Рис. 22.8

а)

Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$.

Площадь закрашенного треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot h$. Высота этого треугольника, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую основание $BC$, равна высоте трапеции $h$.

По условию $S_{ABC} = 3$ см², следовательно, $\frac{1}{2} BC \cdot h = 3$, откуда получаем, что $BC \cdot h = 6$.

Также по условию дано, что $AD = 2BC$. Подставим это соотношение в формулу площади трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{2BC+BC}{2} \cdot h = \frac{3BC}{2} \cdot h = \frac{3}{2} (BC \cdot h)$.

Так как $BC \cdot h = 6$, находим площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9$ см².

Ответ: 9 см².

б)

В данном случае фигура является трапецией, которую обозначим как $ADCB$, с основаниями $AB$ и $DC$. Пусть $h$ — высота этой трапеции. Закрашенный треугольник — это $ODC$.

Рассмотрим четырехугольник $AOCD$. Так как $O$ лежит на прямой $AB$, а $AB || DC$, то $AO || DC$. По условию также дано, что $AD || OC$. Если у четырехугольника противолежащие стороны попарно параллельны, то это параллелограмм. Следовательно, $AOCD$ — параллелограмм, и его противолежащие стороны равны: $AO = DC$.

Аналогично рассмотрим четырехугольник $OBCD$. $BO || DC$ (так как $AB || DC$) и $BC || OD$ (по условию). Следовательно, $OBCD$ — также параллелограмм, и $BO = DC$.

Таким образом, мы получили, что $AO = BO = DC$. Пусть длина этих отрезков равна $a$. Тогда длина верхнего основания $AB = AO + BO = 2a$, а длина нижнего основания $DC = a$.

Площадь закрашенного треугольника $ODC$ равна $S_{ODC} = \frac{1}{2} DC \cdot h = \frac{1}{2} a \cdot h$.

По условию $S_{ODC} = 3$ см², значит, $\frac{1}{2} a \cdot h = 3$, откуда $a \cdot h = 6$.

Площадь трапеции $ADCB$ вычисляется по формуле $S_{ADCB} = \frac{AB+DC}{2} \cdot h$. Подставим найденные длины оснований:

$S_{ADCB} = \frac{2a+a}{2} \cdot h = \frac{3a}{2} \cdot h = \frac{3}{2} (a \cdot h)$.

Так как $a \cdot h = 6$, находим площадь трапеции:

$S_{ADCB} = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9$ см².

Ответ: 9 см².

в)

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Площадь закрашенного треугольника $MCD$ равна 3 см².

Продлим отрезок $CM$ до пересечения с прямой $AD$ в точке $K$.

Рассмотрим треугольники $MBC$ и $MAK$.

1. $AM = MB$ (по условию, так как $M$ — середина $AB$).

2. $\angle BMC = \angle AMK$ (как вертикальные углы).

3. $\angle BCM = \angle AKM$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CK$).

Следовательно, треугольники $MBC$ и $MAK$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства треугольников следует равенство их площадей $S_{MBC} = S_{MAK}$ и равенство сторон $CM = MK$.

Площадь трапеции $ABCD$ равна сумме площадей четырехугольника $AMCD$ и треугольника $MBC$: $S_{ABCD} = S_{AMCD} + S_{MBC}$.

Площадь треугольника $KCD$ равна сумме площадей $AMCD$ и $MAK$: $S_{KCD} = S_{AMCD} + S_{MAK}$.

Поскольку $S_{MBC} = S_{MAK}$, то $S_{ABCD} = S_{KCD}$.

Теперь рассмотрим треугольник $KCD$. Так как $CM = MK$, отрезок $DM$ является медианой этого треугольника. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. треугольника с равными площадями). Значит, $S_{MCD} = S_{MKD}$.

Площадь треугольника $KCD$ равна $S_{KCD} = S_{MCD} + S_{MKD} = 2 \cdot S_{MCD}$.

Так как $S_{ABCD} = S_{KCD}$, получаем, что $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{MCD}$.

По условию $S_{MCD} = 3$ см², следовательно, площадь трапеции равна:

$S_{ABCD} = 2 \cdot 3 = 6$ см².

Ответ: 6 см².