Номер 19, страница 105 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Укажите какой-нибудь способ нахождения площади произвольного многоугольника.

Существует несколько способов найти площадь произвольного многоугольника. Один из наиболее общих и интуитивно понятных — это метод триангуляции. Он применим к любому простому многоугольнику (без самопересечений), как выпуклому, так и невыпуклому.

Метод состоит из следующих шагов:

1. Разбиение на треугольники. Исходный многоугольник нужно разделить на несколько треугольников, которые не пересекаются друг с другом, а их объединение полностью покрывает многоугольник. Для любого n-угольника это можно сделать, проведя $n-3$ диагонали из одной вершины ко всем остальным (кроме двух соседних). В результате получится $n-2$ треугольника.

2. Вычисление площади каждого треугольника. После разбиения необходимо найти площадь каждого из полученных треугольников. Для этого можно использовать любую подходящую формулу, в зависимости от имеющихся данных:
• по длине основания $a$ и проведенной к ней высоте $h$: $S = \frac{1}{2}ah$;
• по двум сторонам $a$, $b$ и углу $\gamma$ между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$;
• по трем сторонам $a, b, c$ (используя формулу Герона): $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.

3. Суммирование площадей. Общая площадь многоугольника является суммой площадей всех треугольников, на которые он был разбит. Если $S_1, S_2, \dots, S_{n-2}$ — это площади треугольников, то площадь многоугольника $S_{многоуг.}$ находится как: $S_{многоуг.} = S_1 + S_2 + \dots + S_{n-2}$.

Другой мощный способ, особенно удобный в аналитической геометрии, когда известны координаты вершин, — это формула площади Гаусса (также известная как формула шнурков). Если вершины многоугольника заданы своими координатами $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ в порядке обхода по или против часовой стрелки, то его площадь вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + \dots + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + \dots + y_nx_1)|$.

Ответ: Один из способов нахождения площади произвольного многоугольника — разбить его диагоналями на непересекающиеся треугольники, найти площадь каждого из этих треугольников по одной из известных формул, а затем сложить полученные значения площадей.