Номер 5, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите площади четырехугольников, изображенных на рисунке 23.5. Стороны квадратных клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 23.5

а)

Для нахождения площади четырехугольника, изображенного на рисунке а), можно использовать метод декомпозиции (разбиения). Разобьем данный четырехугольник на более простые фигуры, площади которых легко вычислить. Проведем из двух верхних вершин вертикальные отрезки к нижнему основанию. В результате четырехугольник разобьется на один прямоугольный треугольник слева, одну прямоугольную трапецию в центре и еще один прямоугольный треугольник справа.

1. Площадь левого треугольника. Это прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 3 (поскольку стороны клеток равны 1). Его площадь $S_1$ равна:

$S_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5$ кв. ед.

2. Площадь центральной трапеции. Это прямоугольная трапеция. Ее основания равны 3 и 2, а высота равна 1. Ее площадь $S_2$ равна:

$S_2 = \frac{3 + 2}{2} \times 1 = \frac{5}{2} = 2.5$ кв. ед.

3. Площадь правого треугольника. Это прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 2. Его площадь $S_3$ равна:

$S_3 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$ кв. ед.

Общая площадь четырехугольника $S$ равна сумме площадей этих трех фигур:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 1.5 + 2.5 + 1 = 5$ кв. ед.

Другой способ — использование формулы Пика: $S = I + \frac{B}{2} - 1$, где $I$ — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а $B$ — количество целочисленных точек на его границе.Внутри фигуры 3 точки ($I=3$). На границе фигуры 6 точек ($B=6$).$S = 3 + \frac{6}{2} - 1 = 3 + 3 - 1 = 5$ кв. ед.

Ответ: 5.

б)

Данный четырехугольник является невыпуклым (вогнутым). Для нахождения его площади можно провести диагональ, которая разделит его на два треугольника. Проведем диагональ, соединяющую левую нижнюю вершину с вогнутой вершиной. В результате четырехугольник разобьется на два треугольника.

Найдем площадь каждого треугольника по отдельности. Удобно использовать метод "достроить до прямоугольника": площадь треугольника находится как разность площади описанного прямоугольника и площадей "лишних" прямоугольных треугольников по углам.

1. Площадь первого треугольника (левого). Его вершины находятся в узлах сетки. Обозначим их координаты, приняв левый нижний угол сетки за (0, 0): (1, 1), (2, 4), (3, 3).Опишем вокруг него прямоугольник с вершинами в точках (1, 1), (3, 1), (3, 4), (1, 4). Площадь этого прямоугольника $S_{rect1}$ равна $2 \times 3 = 6$ кв. ед.Площадь "лишних" прямоугольных треугольников:

• Треугольник с катетами 2 и 2: $S_{t1} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.
• Треугольник с катетами 1 и 1: $S_{t2} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$.
• Треугольник с катетами 1 и 3: $S_{t3} = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5$.

2. Площадь второго треугольника (правого). Его вершины имеют координаты: (1, 1), (3, 3), (5, 2).Опишем вокруг него прямоугольник с вершинами в точках (1, 1), (5, 1), (5, 3), (1, 3). Площадь этого прямоугольника $S_{rect2}$ равна $4 \times 2 = 8$ кв. ед.Площадь "лишних" прямоугольных треугольников:

• Треугольник с катетами 2 и 2: $S_{t4} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.
• Треугольник с катетами 2 и 1: $S_{t5} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$.
• Треугольник с катетами 4 и 1: $S_{t6} = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$.

Общая площадь четырехугольника $S$ равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S = S_1 + S_2 = 2 + 3 = 5$ кв. ед.

Другой способ — использование формулы Пика: $S = I + \frac{B}{2} - 1$.Внутри фигуры 4 точки ($I=4$). На границе фигуры 4 точки (только вершины, на сторонах нет) ($B=4$).$S = 4 + \frac{4}{2} - 1 = 4 + 2 - 1 = 5$ кв. ед.

Ответ: 5.