Номер 8, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Докажите, что если через вершины выпуклого четырехугольника провести прямые, параллельные его диагоналям, то площадь четырехугольника, образованного этими прямыми, в два раза больше площади данного четырехугольника (рис. 23.7).

Рис. 23.7

Доказательство:

Пусть $ABCD$ — данный выпуклый четырехугольник. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Площадь четырехугольника $ABCD$ можно представить как сумму площадей четырех треугольников, на которые он разбивается диагоналями:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABO} + S_{\triangle BCO} + S_{\triangle CDO} + S_{\triangle DAO}$

По условию задачи, через вершины $A, B, C, D$ проведены прямые, параллельные диагоналям, которые образуют новый четырехугольник $EFGH$.

Рассмотрим четырехугольник $AEBO$. По построению, прямая $HE$ проходит через точку $A$ и параллельна диагонали $BD$. Следовательно, $AE \parallel BO$. Прямая $EF$ проходит через точку $B$ и параллельна диагонали $AC$. Следовательно, $BE \parallel AO$. Поскольку у четырехугольника $AEBO$ противоположные стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.

Диагональ $AB$ делит параллелограмм $AEBO$ на два равновеликих (равных по площади) треугольника: $\triangle ABE$ и $\triangle ABO$. Таким образом, их площади равны:

$S_{\triangle ABE} = S_{\triangle ABO}$

Аналогично рассмотрим остальные части фигуры:

• Четырехугольник $BCFO$: $BF \parallel CO$ и $CF \parallel BO$. Следовательно, $BCFO$ — параллелограмм. Его диагональ $BC$ делит его на два равновеликих треугольника, поэтому $S_{\triangle BCF} = S_{\triangle BCO}$.
• Четырехугольник $CDGO$: $CG \parallel DO$ и $DG \parallel CO$. Следовательно, $CDGO$ — параллелограмм. Его диагональ $CD$ делит его на два равновеликих треугольника, поэтому $S_{\triangle CDG} = S_{\triangle CDO}$.
• Четырехугольник $DAHO$: $DH \parallel AO$ и $AH \parallel DO$. Следовательно, $DAHO$ — параллелограмм. Его диагональ $DA$ делит его на два равновеликих треугольника, поэтому $S_{\triangle DAH} = S_{\triangle DAO}$.

Площадь большого четырехугольника $EFGH$ состоит из площади центрального четырехугольника $ABCD$ и площадей четырех треугольников по его сторонам: $S_{EFGH} = S_{ABCD} + S_{\triangle ABE} + S_{\triangle BCF} + S_{\triangle CDG} + S_{\triangle DAH}$.

Заменим площади внешних треугольников на равные им площади внутренних треугольников:

$S_{EFGH} = S_{ABCD} + S_{\triangle ABO} + S_{\triangle BCO} + S_{\triangle CDO} + S_{\triangle DAO}$

Сумма площадей $S_{\triangle ABO} + S_{\triangle BCO} + S_{\triangle CDO} + S_{\triangle DAO}$ равна площади четырехугольника $ABCD$. Поэтому мы можем переписать формулу следующим образом:

$S_{EFGH} = S_{ABCD} + S_{ABCD}$

Отсюда следует, что:

$S_{EFGH} = 2 \cdot S_{ABCD}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь четырехугольника, образованного прямыми, которые проходят через вершины исходного выпуклого четырехугольника и параллельны его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника.