Номер 6, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Найдите площади пятиугольников, изображенных на рисунке 23.6. Стороны квадратных клеток равны 1.

a)

б)

Рис. 23.6

а) Для нахождения площади пятиугольника, изображенного на рисунке а), можно использовать метод "дополнения до прямоугольника". Опишем вокруг пятиугольника прямоугольник, вершины которого находятся в узлах сетки, и вычтем из площади этого прямоугольника площади фигур, которые в него входят, но не принадлежат пятиугольнику.

Окружающий прямоугольник имеет стороны длиной 5 и 4 единицы (клетки). Его площадь равна $S_{прям} = 5 \times 4 = 20$ квадратных единиц.

Теперь найдем площади четырех прямоугольных треугольников, расположенных по углам этого прямоугольника:

1. Треугольник в левом верхнем углу имеет катеты длиной 3 и 3. Его площадь $S_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$.

2. Треугольник в правом верхнем углу имеет катеты длиной 2 и 1. Его площадь $S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$.

3. Треугольник в правом нижнем углу имеет катеты длиной 1 и 3. Его площадь $S_3 = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5$.

4. Треугольник в левом нижнем углу имеет катеты длиной 1 и 1. Его площадь $S_4 = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$.

Суммарная площадь этих четырех треугольников составляет $S_{внеш} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 4.5 + 1 + 1.5 + 0.5 = 7.5$.

Площадь пятиугольника равна разности площади прямоугольника и суммарной площади внешних треугольников: $S_{пятиуг} = S_{прям} - S_{внеш} = 20 - 7.5 = 12.5$.

Ответ: 12.5

б) Для нахождения площади вогнутого пятиугольника на рисунке б) удобно разбить его на более простые фигуры, например, на три треугольника. Введем систему координат, приняв за начало отсчета левый нижний угол сетки. Вершины пятиугольника будут иметь следующие координаты (в порядке обхода по часовой стрелке, начиная с верхней): $V_1(2, 4)$, $V_2(3, 3)$, $V_3(4, 0)$, $V_4(0, 1)$ и $V_5(1, 3)$.

Разделим пятиугольник на три треугольника, проведя отрезки из вершины $V_3$ к вершинам $V_5$ и $V_1$: $\triangle V_3V_4V_5$, $\triangle V_3V_5V_1$ и $\triangle V_3V_1V_2$. Площадь пятиугольника будет равна сумме площадей этих трех треугольников: $S_{пятиуг} = S_{\triangle V_3V_4V_5} + S_{\triangle V_3V_5V_1} + S_{\triangle V_3V_1V_2}$.

Найдем площадь каждого треугольника, используя метод "дополнения до прямоугольника":

1. Для $\triangle V_3(4,0)V_4(0,1)V_5(1,3)$: опишем прямоугольник с вершинами в точках (0,0), (4,0), (4,3), (0,3). Его площадь $4 \times 3 = 12$. Площадь треугольника равна площади прямоугольника минус площади трех внешних прямоугольных треугольников: $S_{\triangle V_3V_4V_5} = 12 - (\frac{1}{2} \times 4 \times 1) - (\frac{1}{2} \times 1 \times 2) - (\frac{1}{2} \times 3 \times 3) = 12 - 2 - 1 - 4.5 = 4.5$.

2. Для $\triangle V_3(4,0)V_5(1,3)V_1(2,4)$: опишем прямоугольник с вершинами в точках (1,0), (4,0), (4,4), (1,4). Его площадь $3 \times 4 = 12$. Площадь треугольника равна площади прямоугольника минус площади трех внешних прямоугольных треугольников: $S_{\triangle V_3V_5V_1} = 12 - (\frac{1}{2} \times 3 \times 3) - (\frac{1}{2} \times 1 \times 1) - (\frac{1}{2} \times 2 \times 4) = 12 - 4.5 - 0.5 - 4 = 3$.

3. Для $\triangle V_3(4,0)V_1(2,4)V_2(3,3)$: его площадь можно найти как разность площадей трапеций под его сторонами. Площадь под отрезком $V_1V_2$ - это трапеция с основаниями 4 и 3 и высотой 1, ее площадь $S_{12} = \frac{4+3}{2} \times 1 = 3.5$. Площадь под отрезком $V_2V_3$ - это треугольник с основанием 1 и высотой 3, его площадь $S_{23} = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5$. Площадь под отрезком $V_1V_3$ - это треугольник с основанием 2 и высотой 4, его площадь $S_{13} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$. Площадь искомого треугольника: $S_{\triangle V_3V_1V_2} = S_{12} + S_{23} - S_{13} = 3.5 + 1.5 - 4 = 1$.

Суммарная площадь пятиугольника: $S_{пятиуг} = 4.5 + 3 + 1 = 8.5$.

Ответ: 8.5