Номер 9, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины сторон соответственно $BC$ и $AD$ (рис. 23.8). Докажите, что площадь четырехугольника $AECF$ равна половине площади четырехугольника $ABCD$.

Рис. 23.8

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством медианы треугольника. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади (равновеликих).

1. Проведем диагональ $AC$ в четырехугольнике $ABCD$. Она разбивает его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Площадь четырехугольника $ABCD$ равна сумме площадей этих треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, точка $E$ — середина стороны $BC$. Следовательно, отрезок $AE$ является медианой треугольника $ABC$. По свойству медианы, она делит треугольник на два равновеликих треугольника, то есть $S_{\triangle ABE} = S_{\triangle AEC}$. Отсюда следует, что площадь треугольника $AEC$ составляет половину площади треугольника $ABC$: $S_{\triangle AEC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. По условию, точка $F$ — середина стороны $AD$. Следовательно, отрезок $CF$ является медианой треугольника $ADC$. Аналогично предыдущему пункту, медиана $CF$ делит треугольник $ADC$ на два равновеликих треугольника: $S_{\triangle AFC} = S_{\triangle DFC}$. Таким образом, площадь треугольника $AFC$ составляет половину площади треугольника $ADC$: $S_{\triangle AFC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ADC}$.

4. Площадь четырехугольника $AECF$ состоит из суммы площадей треугольников $AEC$ и $AFC$, так как они не пересекаются и их объединение образует четырехугольник $AECF$: $S_{AECF} = S_{\triangle AEC} + S_{\triangle AFC}$.

5. Подставим в это равенство выражения для площадей, полученные в пунктах 2 и 3: $S_{AECF} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} + \frac{1}{2} S_{\triangle ADC}$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $S_{AECF} = \frac{1}{2} (S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC})$.

6. Как мы установили в пункте 1, сумма $S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$ равна площади исходного четырехугольника $S_{ABCD}$. Подставим это в наше выражение: $S_{AECF} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Таким образом, доказано, что площадь четырехугольника $AECF$ равна половине площади четырехугольника $ABCD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.