Номер 3, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Разрежьте прямоугольник (рис. 24.5) на две части, из которых можно сложить треугольник.

Рис. 24.5

Для того чтобы из прямоугольника сложить треугольник, необходимо выполнить разрез и последующую перестановку частей. Весь процесс можно разбить на два этапа: разрез и сборка.

Сначала определим размеры фигур. Прямоугольник на рисунке имеет стороны, равные 4 и 2 условным единицам (сторонам клетки). Его площадь $S_{прямоугольника}$ равна $4 \times 2 = 8$ квадратных единиц. Треугольник, который мы хотим получить, должен состоять из тех же частей, поэтому его площадь $S_{треугольника}$ также будет равна 8. Формула площади треугольника — $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. Это означает, что для нашего будущего треугольника произведение основания на высоту должно быть равно $a \cdot h = 16$.

Разрез

Выполним один прямой разрез по диагонали прямоугольника, соединив два противоположных угла, например, левый верхний и правый нижний. В результате этого действия прямоугольник разделится на две полностью одинаковые (конгруэнтные) части. Каждая часть будет представлять собой прямоугольный треугольник, катеты которого равны сторонам исходного прямоугольника, то есть 2 и 4.

Сборка

Теперь необходимо правильно сложить полученные два прямоугольных треугольника. Возьмем оба треугольника и приложим их друг к другу теми сторонами, которые являются короткими катетами (длиной 2). Чтобы их гипотенузы образовали боковые стороны нового треугольника, один из прямоугольных треугольников нужно зеркально отразить относительно общего катета.

В результате получится одна цельная фигура — равнобедренный треугольник. Его основание будет сложено из двух длинных катетов (длиной 4) и будет равно $4 + 4 = 8$. Высота этого треугольника будет равна длине короткого катета, то есть 2. Проверим площадь полученного треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8$ квадратных единиц, что соответствует площади исходного прямоугольника. Таким образом, задача решена верно.

Ответ: Прямоугольник необходимо разрезать по одной из диагоналей. Получится два одинаковых прямоугольных треугольника с катетами 2 и 4. Затем эти два треугольника нужно приложить друг к другу их катетами длиной 2 так, чтобы их катеты длиной 4 образовали одну прямую линию. В результате будет сложен равнобедренный треугольник с основанием 8 и высотой 2.