Номер 10, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ (рис. 24.11) проведите прямую, делящую этот треугольник на две равновеликие части.

Рис. 24.11

Чтобы разделить треугольник на две равновеликие (то есть равные по площади) части прямой, проходящей через одну из его вершин, необходимо провести медиану из этой вершины. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.

Докажем это. Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $CM$ к стороне $AB$. Это означает, что точка $M$ — середина стороны $AB$, и, следовательно, $AM = MB$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к нему. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. Эта высота будет общей для двух треугольников, на которые медиана $CM$ разделила исходный треугольник: $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.

Площадь треугольника $AMC$ равна $S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CH$.

Площадь треугольника $BMC$ равна $S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot CH$.

Так как по определению медианы $AM = BM$, а высота $CH$ у треугольников общая, то их площади равны: $S_{AMC} = S_{BMC}$.

Таким образом, для решения задачи необходимо провести медиану из вершины $C$ к стороне $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ на рисунке. Сторона $AB$ расположена на горизонтальной линии сетки. Длина стороны $AB$ составляет 4 единичных отрезка (4 клетки). Чтобы найти середину стороны $AB$, нужно отступить от точки $A$ (или $B$) 2 клетки вдоль этой стороны. Обозначим эту середину точкой $M$.

Искомая прямая — это отрезок, соединяющий вершину $C$ с точкой $M$.

Ответ: Искомая прямая — это медиана треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$. Для ее построения необходимо найти середину стороны $AB$ и соединить ее с вершиной $C$.