Номер 13, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Через вершину $C$ проведите прямую, делящую трапецию $ABCD$ (рис. 24.14) на две равновеликие части.

Рис. 24.14

Для решения задачи необходимо найти прямую, проходящую через вершину C, которая делит площадь трапеции ABCD пополам. Сначала вычислим площадь трапеции.

Примем сторону одной клетки за 1. Из рисунка видно, что трапеция имеет следующие размеры:

• Длина нижнего основания $AB = a = 4$.
• Длина верхнего основания $DC = b = 3$.
• Высота трапеции $h = 4$.

Искомая прямая должна разделить трапецию на две равновеликие части, то есть на две фигуры с площадью $14 / 2 = 7$ квадратных единиц каждая. Эта прямая будет выходить из вершины C и пересекать одну из сторон трапеции, AB или AD.

Рассмотрим вариант, когда прямая пересекает основание AB в некоторой точке K. В этом случае трапеция делится на треугольник CBK и четырехугольник ADCK. Площадь треугольника CBK должна быть равна 7.Высота треугольника CBK, проведенная из вершины C к основанию BK, совпадает с высотой трапеции и равна $h=4$. Площадь треугольника равна:$S_{CBK} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot h = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot 4 = 2 \cdot BK$Приравниваем площадь к требуемому значению:$2 \cdot BK = 7$$BK = 3.5$Длина основания AB равна 4, поэтому точка K, находящаяся на расстоянии 3.5 от точки B, лежит на отрезке AB.

Таким образом, искомая прямая — это отрезок, соединяющий вершину C с точкой K на основании AB, причем точка K находится на расстоянии 3.5 единицы от точки B.

Ответ: Следует провести прямую через вершину C и точку K, лежащую на основании AB, так, чтобы расстояние от точки B до точки K составляло 3.5 единицы (или, что то же самое, расстояние от точки A до точки K составляло $4 - 3.5 = 0.5$ единицы).