Номер 17, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Разрежьте правильный: а) шестиугольник; б) восьмиугольник на параллелограммы (рис. 24.18).

а)

б)

Рис. 24.18

а) Чтобы разрезать правильный шестиугольник на параллелограммы, достаточно провести три отрезка от его центра к трем вершинам, взятым через одну. Пусть вершины шестиугольника последовательно обозначены как $A, B, C, D, E, F$, а его центр — точка $O$. Проведем отрезки $OA$, $OC$ и $OE$.

В результате шестиугольник разделяется на три четырехугольника: $OABC$, $OCDE$ и $OEFA$. Рассмотрим любой из них, например, $OABC$. Его стороны — это две стороны исходного шестиугольника ($AB$ и $BC$) и два радиуса описанной окружности ($OA$ и $OC$).

Ключевым свойством правильного шестиугольника является то, что его сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, $AB = BC = CO = OA$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Аналогично, четырехугольники $OCDE$ и $OEFA$ также являются ромбами.

Поскольку ромб является частным случаем параллелограмма, мы разрезали правильный шестиугольник на три параллелограмма.

Ответ: Правильный шестиугольник можно разрезать на три ромба (которые являются параллелограммами), соединив его центр с тремя вершинами через одну.

б) Правильный восьмиугольник можно разрезать на 6 параллелограммов. Это общее свойство для всех центрально-симметричных многоугольников с $2n$ сторонами, которые можно разрезать на $\frac{n(n-1)}{2}$ параллелограммов. Для восьмиугольника $2n=8$, значит $n=4$, и число параллелограммов равно $\frac{4(4-1)}{2} = 6$.

В случае правильного восьмиугольника, эти 6 параллелограммов представляют собой два квадрата и четыре одинаковых ромба. Внутренний угол правильного восьмиугольника равен $135^\circ$. Углы у получившихся ромбов будут равны $45^\circ$ и $135^\circ$.

Хотя построение разрезающих линий может быть сложным для описания, можно представить итоговую композицию. Четыре из шести параллелограммов (два квадрата и два ромба) сходятся в центре восьмиугольника. Сумма их углов в этой центральной точке составляет $360^\circ$: два прямых угла от квадратов ($90^\circ+90^\circ$) и по одному острому и тупому углу от ромбов ($45^\circ+135^\circ$) дают в сумме $90^\circ+90^\circ+45^\circ+135^\circ=360^\circ$. Оставшиеся два ромба располагаются на периферии, примыкая к центральной группе фигур и завершая формирование восьмиугольника.

Ответ: Правильный восьмиугольник можно разрезать на 6 параллелограммов, а именно на два квадрата и четыре ромба.