Номер 20, страница 113 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Греческий крест (рис. 24.21) разрежьте на несколько частей, из которых можно сложить квадрат.

Рис. 24.21

Для решения задачи сначала определим площадь исходной фигуры, чтобы найти сторону искомого квадрата. Фигура на рисунке, названная «греческим крестом», расположена на сетке. Подсчитаем количество единичных квадратов, из которых она состоит.

Фигура состоит из центрального квадрата размером $3 \times 3$ единичных квадрата и четырех примыкающих к нему по сторонам единичных квадратов размером $1 \times 1$.

Площадь центрального квадрата: $S_{центр} = 3 \times 3 = 9$ единичных квадратов.

Площадь четырех «лучей»: $S_{лучи} = 4 \times (1 \times 1) = 4$ единичных квадрата.

Общая площадь фигуры: $S = S_{центр} + S_{лучи} = 9 + 4 = 13$ единичных квадратов.

Следовательно, квадрат, который можно сложить из частей креста, должен иметь площадь 13 единичных квадратов. Длина стороны такого квадрата будет $a = \sqrt{13}$ единиц.

Чтобы найти линии разрезов, нужно найти на сетке отрезки длиной $\sqrt{13}$. Длина отрезка на сетке вычисляется по теореме Пифагора. Нам нужно найти два целых числа, сумма квадратов которых равна 13. Таким числами являются 2 и 3, так как $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$. Это означает, что разрезы будут представлять собой диагонали прямоугольников размером $2 \times 3$ единицы.

Один из способов разрезать крест основан на принципе наложения искомого квадрата на исходную фигуру. Разрезы будут представлять собой стороны этого наложенного квадрата.

Введем систему координат, приняв левый нижний угол сетки 5x5 за точку (0,0). Тогда крест занимает определенные клетки на этой сетке. Четыре «луча» креста — это квадраты с углами в точках (2,4)-(3,5) (верхний), (4,2)-(5,3) (правый), (2,0)-(3,1) (нижний) и (0,2)-(1,3) (левый). Центральный квадрат 3x3 занимает область от (1,1) до (4,4).

Разрезы следует провести следующим образом, соединяя определенные вершины на границе креста:

1. Соединить точку (3,5) (верхний правый угол верхнего луча) с точкой (5,2) (нижний правый угол правого луча).
2. Соединить точку (5,2) с точкой (2,0) (нижний левый угол нижнего луча).
3. Соединить точку (2,0) с точкой (0,3) (верхний левый угол левого луча).
4. Соединить точку (0,3) с точкой (3,5).

Эти четыре разреза образуют квадрат со стороной $\sqrt{(5-3)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.

В результате этих четырех разрезов исходный крест делится на 5 частей:

• Одна центральная часть (восьмиугольной формы), находящаяся внутри начерченного нами квадрата.
• Четыре угловые части, отсекаемые от лучей креста.

Для того чтобы сложить квадрат, нужно переместить четыре угловые части. Каждая из этих частей перемещается (путем параллельного переноса) в пустые угловые области внутри контура разрезов. Таким образом, все 5 частей полностью заполняют квадрат со стороной $\sqrt{13}$.

Ответ: Крест нужно разрезать на 5 частей. Для этого на исходной фигуре (на сетке 5x5 с началом координат в левом нижнем углу) проводятся четыре отрезка, соединяющие следующие точки на его контуре: (3,5) с (5,2), (5,2) с (2,0), (2,0) с (0,3) и (0,3) с (3,5). Полученные 5 частей (одна центральная и четыре угловые) можно сложить в квадрат со стороной $\sqrt{13}$.