Номер 19, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке 24.20, на две равные части.

Рис. 24.20

Решение:

Для того чтобы разрезать фигуру на две равные части, необходимо найти такой разрез, который разделит ее на две конгруэнтные, то есть одинаковые по форме и размеру, фигуры. Проще всего это сделать, если фигура обладает центральной симметрией.

1. Найдем площадь фигуры. Фигура нарисована на клетчатой бумаге. Посчитаем количество клеток, из которых она состоит. Фигуру можно мысленно разбить на три прямоугольника:

• Центральный прямоугольник размером $6 \times 5 = 30$ клеток.
• Левый «столбик» размером $2 \times 6 = 12$ клеток.
• Нижний «выступ» размером $2 \times 1 = 2$ клетки.

2. Найдем центр симметрии. Фигуры такого типа часто имеют центр точечной (центральной) симметрии. Это точка, при повороте на $180^\circ$ вокруг которой фигура совпадает сама с собой. Любая линия, проходящая через центр симметрии и имеющая симметрию относительно него, разделит фигуру на две равные части.

Введем систему координат, приняв за единицу измерения сторону одной клетки. Расположим начало координат так, чтобы левый нижний угол фигуры имел координаты $(1, 1)$. Тогда вершины фигуры будут иметь координаты: $(1, 1)$, $(3, 1)$, $(3, 2)$, $(9, 2)$, $(9, 8)$, $(7, 8)$, $(7, 7)$, $(1, 7)$.

Центр симметрии фигуры будет совпадать с центром ее габаритного прямоугольника, который простирается от $x=1$ до $x=9$ и от $y=1$ до $y=8$. Координаты центра $P$ будут средними значениями координат границ:$x_c = (1+9)/2 = 5$$y_c = (1+8)/2 = 4,5$Таким образом, центр симметрии — точка $P(5; 4,5)$.

3. Проведем разрез. Разрез должен быть линией, которая сама симметрична относительно точки $P(5; 4,5)$. Такой разрез можно провести по линиям сетки. Соединим симметричные точки на границе фигуры, например, точку $(3, 2)$ и симметричную ей точку $(7, 7)$. Разрез будет состоять из следующих отрезков по линиям сетки:

• От точки $(3, 2)$ вправо до точки $(5, 2)$.
• От точки $(5, 2)$ вверх до точки $(5, 7)$.
• От точки $(5, 7)$ вправо до точки $(7, 7)$.

Этот разрез делит исходную фигуру на две части. Проверим их площади и конгруэнтность.

• Левая нижняя часть: ее вершины $(1, 1)$, $(3, 1)$, $(3, 2)$, $(5, 2)$, $(5, 7)$, $(1, 7)$. Ее площадь состоит из прямоугольника $4 \times 5 = 20$ клеток и примыкающего снизу прямоугольника $2 \times 1 = 2$ клетки. Итого: $20 + 2 = 22$ клетки.
• Правая верхняя часть: ее вершины $(5, 2)$, $(9, 2)$, $(9, 8)$, $(7, 8)$, $(7, 7)$, $(5, 7)$. Ее площадь состоит из прямоугольника $4 \times 5 = 20$ клеток и примыкающего сверху справа прямоугольника $2 \times 1 = 2$ клетки. Итого: $20 + 2 = 22$ клетки.

На рисунке ниже показан итоговый разрез.

Ответ:

Разрез нужно провести по ломаной линии, соединяющей по линиям сетки точку на границе с координатами $(3, 2)$ и точку с координатами $(7, 7)$ через точки $(5, 2)$ и $(5, 7)$ в предложенной системе координат. Этот разрез показан синей пунктирной линией на рисунке выше.