Номер 23, страница 113 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Из квадрата $8 \cdot 8$ вырезали два угловых квадрата $1 \cdot 1$ (рис. 24.24). Докажите, что оставшуюся фигуру нельзя разрезать на прямоугольники, состоящие из двух квадратных клеток.

Рис. 24.24

Для доказательства воспользуемся методом раскраски, известным как раскраска в стиле шахматной доски.
Исходный квадрат имеет размер $8 \times 8$, то есть содержит $8 \times 8 = 64$ клетки. Раскрасим все клетки этого квадрата в два цвета (условно, в белый и черный) так, чтобы соседние по стороне клетки имели разный цвет. В таком случае, поскольку общее число клеток четное, количество белых и черных клеток будет одинаковым: $64 / 2 = 32$ белых и $32$ черных.
Из квадрата вырезали два угловых квадрата размером $1 \times 1$. Важно отметить, какие именно углы удалены. На рисунке 24.24 показано, что удалены два противоположных по диагонали угла. В шахматной раскраске клетки, находящиеся в противоположных углах квадрата $8 \times 8$, всегда окрашены в один и тот же цвет. Например, если левая верхняя клетка (a8) белая, то и правая нижняя (h1) тоже будет белой. Аналогично, если левая нижняя (a1) черная, то и правая верхняя (h8) тоже черная.
Следовательно, из квадрата были удалены две клетки одного и того же цвета.
Допустим, что удалили две белые клетки. Тогда в оставшейся фигуре будет $32 - 2 = 30$ белых клеток и 32 черные клетки. Если бы удалили две черные, то, соответственно, осталось бы 32 белые и 30 черных клеток. В любом случае, итоговая фигура площадью $64 - 2 = 62$ клетки будет содержать неравное количество клеток двух цветов (30 одного цвета и 32 другого).
Теперь рассмотрим элемент, которым нужно разрезать фигуру — прямоугольник из двух квадратных клеток, или домино размером $1 \times 2$. Какое бы положение (горизонтальное или вертикальное) ни занимало домино на раскрашенной доске, оно всегда будет покрывать ровно одну белую и одну черную клетку.
Это означает, что любое количество домино, полностью покрывающее некоторую область, покроет в этой области равное число белых и черных клеток.
Поскольку в нашей фигуре число белых и черных клеток не равно, ее невозможно разрезать (покрыть без остатка и наложений) на прямоугольники размером $1 \times 2$.

Ответ: Доказательство основано на методе шахматной раскраски. В квадрате $8 \times 8$ имеется 32 белых и 32 черных клетки. При вырезании двух противоположных угловых клеток, которые всегда одного цвета, в оставшейся фигуре будет, например, 30 клеток одного цвета и 32 другого. Каждый прямоугольник $1 \times 2$ (домино) всегда покрывает одну белую и одну черную клетку. Следовательно, любую фигуру, которую можно разрезать на такие домино, должна состоять из равного числа белых и черных клеток. Так как в нашей фигуре это условие не выполняется, разрезать ее на прямоугольники $1 \times 2$ нельзя.