Номер 2, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Разрежьте параллелограмм (рис. 24.4) на:

а) два;

б) четыре равновеликих треугольника.

Рис. 24.4

а) Равновеликими называются фигуры, имеющие равные площади. Чтобы разрезать параллелограмм на два равновеликих треугольника, достаточно провести любую из его диагоналей. Диагональ делит параллелограмм на два конгруэнтных (то есть равных по всем параметрам) треугольника. Так как фигуры равны, то их площади также равны. Если площадь параллелограмма равна $S$, то площадь каждого из двух полученных треугольников будет равна $S_{\text{тр}} = S/2$.
Ответ: Необходимо провести одну диагональ, то есть отрезок, соединяющий две противолежащие вершины параллелограмма.

б) Чтобы разрезать параллелограмм на четыре равновеликих треугольника, необходимо провести обе его диагонали. Пусть диагонали пересекаются в точке О. По свойству параллелограмма, диагонали в точке пересечения делятся пополам, то есть точка О является серединой каждой из диагоналей.
Проведение двух диагоналей делит параллелограмм на четыре треугольника. Докажем, что их площади равны.
1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $BO$ является его медианой, так как О — середина стороны $AC$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому площадь $\triangle AOB$ равна площади $\triangle COB$.
2. Аналогично, в треугольнике $\triangle ADC$ отрезок $DO$ является медианой (поскольку О — середина $AC$), поэтому площадь $\triangle AOD$ равна площади $\triangle COD$.
3. Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Следовательно, $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$.
Это означает, что $S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COB} = S_{\triangle AOD} + S_{\triangle COD}$.
Так как $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COB}$ и $S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD}$, мы можем записать это как $2 \cdot S_{\triangle AOB} = 2 \cdot S_{\triangle AOD}$, откуда следует, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOD}$.
Таким образом, площади всех четырех треугольников равны между собой: $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COB} = S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD}$. Каждый из них имеет площадь, равную $S/4$.
Ответ: Необходимо провести обе диагонали параллелограмма. В результате образуются четыре треугольника с общей вершиной в точке пересечения диагоналей, и эти треугольники будут равновеликими.