Номер 17, страница 105 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Докажите, что площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом, равна квадрату ее высоты.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB=CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом, то есть $\angle AOD = 90^\circ$. Проведем через точку $O$ высоту трапеции $MN$, где точка $M$ лежит на основании $BC$, а точка $N$ — на основании $AD$. Тогда высота трапеции $h = MN$.В равнобедренной трапеции диагонали равны ($AC = BD$), а треугольники, образованные диагоналями и основаниями, являются равнобедренными. Таким образом, $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ — равнобедренные.Так как по условию диагонали перпендикулярны, то эти треугольники являются еще и прямоугольными. В прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle BOC$ отрезок $OM$ является высотой, проведенной к гипотенузе $BC$, а значит и медианой. Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы, следовательно, $OM = \frac{1}{2}BC$.Аналогично, в прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle AOD$ высота $ON$ к гипотенузе $AD$ равна ее половине: $ON = \frac{1}{2}AD$.Высота всей трапеции $h$ равна сумме высот этих треугольников: $h = MN = OM + ON$.Подставив найденные значения, получаем: $h = \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AD = \frac{BC + AD}{2}$.Мы видим, что высота трапеции равна ее средней линии.Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания.Для нашей трапеции формула имеет вид: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$.Так как мы установили, что $\frac{AD + BC}{2} = h$, то, подставив это в формулу площади, получим: $S_{ABCD} = h \cdot h = h^2$.Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.