Номер 15, страница 104 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина боковой стороны $AD$ (рис. 22.7). Докажите, что площадь треугольника $BCE$ равна половине площади трапеции $ABCD$.

Для доказательства данного утверждения выполним дополнительное построение. Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $AB$ и $CD$ — основания ($AB \parallel CD$). Точка $E$ — середина боковой стороны $AD$. Продлим отрезок $BE$ до пересечения с прямой $DC$ в точке $F$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DFE$. В этих треугольниках:
1. $AE = ED$ по условию, так как $E$ — середина отрезка $AD$.
2. $\angle AEB = \angle DEF$ как вертикальные углы.
3. $\angle EAB = \angle FDE$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CF$ и секущей $AD$.
Следовательно, треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DFE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников $\triangle ABE \cong \triangle DFE$ следует равенство их площадей ($S_{\triangle ABE} = S_{\triangle DFE}$) и равенство соответствующих сторон ($BE = EF$).

Площадь трапеции $ABCD$ можно представить как сумму площадей четырехугольника $BCDE$ и треугольника $\triangle ABE$:$S_{ABCD} = S_{BCDE} + S_{\triangle ABE}$.
Так как $S_{\triangle ABE} = S_{\triangle DFE}$, мы можем выполнить замену в этом выражении:$S_{ABCD} = S_{BCDE} + S_{\triangle DFE}$.
Сумма площадей $S_{BCDE}$ и $S_{\triangle DFE}$ равна площади большого треугольника $\triangle BCF$. Таким образом, мы доказали, что площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $\triangle BCF$:$S_{ABCD} = S_{\triangle BCF}$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCF$. Отрезок $CE$ соединяет вершину $C$ с точкой $E$ на стороне $BF$. Поскольку из равенства треугольников мы получили, что $BE = EF$, точка $E$ является серединой стороны $BF$. Это означает, что отрезок $CE$ является медианой треугольника $\triangle BCF$.

По свойству медианы, она делит треугольник на два равновеликих треугольника (треугольника с равными площадями). Следовательно:$S_{\triangle BCE} = S_{\triangle CFE}$.

Отсюда площадь всего треугольника $\triangle BCF$ может быть выражена как удвоенная площадь треугольника $\triangle BCE$:$S_{\triangle BCF} = S_{\triangle BCE} + S_{\triangle CFE} = 2 \cdot S_{\triangle BCE}$.

Сопоставив два ключевых равенства, которые мы получили: $S_{ABCD} = S_{\triangle BCF}$ и $S_{\triangle BCF} = 2 \cdot S_{\triangle BCE}$, мы можем заключить:$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle BCE}$.
Разделив обе части равенства на 2, получаем искомое соотношение:$S_{\triangle BCE} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что площадь треугольника $BCE$ равна половине площади трапеции $ABCD$, доказано.