Страница 104 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие части (рис. 22.3).

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD. Пусть E — середина основания AB и F — середина основания CD. Необходимо доказать, что отрезок EF делит трапецию ABCD на две равновеликие части, то есть на две фигуры с равными площадями.

Отрезок EF разбивает трапецию ABCD на два четырехугольника: AEFD и EBCF. Так как основания трапеции $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), то их отрезки также параллельны друг другу. Следовательно, $AE \parallel DF$ и $EB \parallel FC$. Это означает, что четырехугольники AEFD и EBCF являются трапециями.

Проведем высоту исходной трапеции ABCD, перпендикулярную основаниям. Обозначим ее длину как $h$. Эта высота будет общей для трапеций AEFD и EBCF.

Площадь трапеции находится по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Вычислим площадь трапеции AEFD. Ее основаниями являются отрезки AE и DF, а высота равна $h$.

$S_{AEFD} = \frac{AE + DF}{2} \cdot h$

Теперь вычислим площадь трапеции EBCF. Ее основаниями являются отрезки EB и FC, а высота также равна $h$.

$S_{EBCF} = \frac{EB + FC}{2} \cdot h$

Согласно условию задачи, точка E является серединой основания AB, поэтому $AE = EB$. Аналогично, точка F является серединой основания CD, поэтому $DF = FC$.

Сравним выражения для площадей. Так как $AE = EB$ и $DF = FC$, то суммы длин оснований этих двух малых трапеций равны:

$AE + DF = EB + FC$

Поскольку правые части формул для площадей трапеций AEFD и EBCF равны ($\frac{AE + DF}{2} \cdot h = \frac{EB + FC}{2} \cdot h$), то равны и сами площади:

$S_{AEFD} = S_{EBCF}$

Таким образом, доказано, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие части.

Ответ: Утверждение доказано. Две полученные трапеции AEFD и EBCF имеют одинаковую высоту $h$. Суммы длин их оснований равны, так как по условию $AE=EB$ и $DF=FC$, следовательно $AE+DF = EB+FC$. Поскольку площади обеих трапеций вычисляются по формуле «полусумма оснований на высоту», их площади равны.

12. Докажите, что прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая основания (рис. 22.4), делит эту трапецию на две равновеликие части.

Рис. 22.4

12. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, причем $AB \parallel CD$. Пусть $EF$ — её средняя линия, где $E$ — середина боковой стороны $AD$, а $F$ — середина боковой стороны $BC$. Пусть точка $G$ — середина средней линии $EF$. Через точку $G$ проведена прямая, которая пересекает основания $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Требуется доказать, что эта прямая делит трапецию $ABCD$ на две равновеликие части, то есть на две фигуры с равными площадями. Этими фигурами являются трапеции $APQD$ и $PBCQ$. Таким образом, мы должны доказать, что площадь $S_{APQD}$ равна площади $S_{PBCQ}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Пусть высота трапеции $ABCD$ равна $h$. Тогда высота каждой из трапеций $APQD$ и $PBCQ$ также равна $h$.

$S_{APQD} = \frac{AP + DQ}{2} \cdot h$

$S_{PBCQ} = \frac{PB + CQ}{2} \cdot h$

Для доказательства равенства площадей $S_{APQD} = S_{PBCQ}$ достаточно доказать равенство сумм длин их оснований: $AP + DQ = PB + CQ$.

Мы знаем, что $PB = AB - AP$ и $CQ = CD - DQ$. Подставим эти выражения в доказываемое равенство:

$AP + DQ = (AB - AP) + (CD - DQ)$

$2 \cdot AP + 2 \cdot DQ = AB + CD$

$AP + DQ = \frac{AB + CD}{2}$

Таким образом, задача сводится к доказательству того, что сумма длин отрезков $AP$ и $DQ$ равна полусумме оснований трапеции, то есть длине её средней линии $EF$.

Для доказательства этого факта воспользуемся методом координат, а затем дадим геометрическую интерпретацию. Рассмотрим два ключевых свойства точки $G$.

Свойство 1: Точка $G$ является серединой отрезка, соединяющего середины оснований.

Пусть $M$ — середина основания $AB$, а $N$ — середина основания $CD$. Введём на плоскости систему координат. Координаты точки $G$ (середины средней линии $EF$) можно выразить через координаты вершин трапеции:

$G = \frac{E+F}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{A+D}{2} + \frac{B+C}{2} \right) = \frac{A+B+C+D}{4}$

Координаты середины отрезка $MN$:

$\frac{M+N}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{A+B}{2} + \frac{C+D}{2} \right) = \frac{A+B+C+D}{4}$

Координаты совпадают, следовательно, точка $G$ является серединой отрезка $MN$.

Свойство 2: Точка $G$ является серединой отрезка $PQ$.

Прямые $AB$, $EF$ и $CD$ параллельны. По определению, средняя линия $EF$ находится на одинаковом расстоянии от каждого из оснований. По обобщенной теореме Фалеса, если три параллельные прямые отсекают на одной секущей (например, на боковой стороне $AD$) равные отрезки ($AE=ED$), то они отсекают равные отрезки и на любой другой секущей. В нашем случае секущей является прямая $PQ$. Следовательно, $PG = GQ$, то есть точка $G$ — середина отрезка $PQ$.

Завершение доказательства.

Рассмотрим четырехугольник $MPNQ$. Его диагонали $MN$ и $PQ$ пересекаются в точке $G$ и делятся ею пополам. Четырехугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $MPNQ$ — параллелограмм.

Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны и равны. В частности, сторона $MP$ параллельна стороне $NQ$ и их длины равны: $MP = NQ$.

Введём одномерные системы координат на основаниях $AB$ и $CD$. Направим оси в одну сторону. Пусть начала координат ($0$) находятся в точках $M$ и $N$. Тогда точка $P$ на прямой $AB$ имеет координату $x_P = MP$ (или $x_P = -MP$ в зависимости от направления), а точка $Q$ на прямой $CD$ имеет координату $x_Q = NQ$ (или $x_Q = -NQ$). Из векторного равенства $\vec{MP} = \vec{QN}$ следует, что координаты $P$ и $Q$ относительно середин оснований противоположны: $x_P = -x_Q$.

Теперь выразим сумму $AP + DQ$. Пусть для определенности $A$ и $D$ — левые вершины, а $B$ и $C$ — правые.

$AP = AM + MP = \frac{AB}{2} + MP$ (если $P$ правее $M$)

$DQ = DN - NQ = \frac{CD}{2} - NQ$ (так как $\vec{NQ}$ будет направлен влево, если $\vec{MP}$ вправо)

Тогда $AP + DQ = (\frac{AB}{2} + MP) + (\frac{CD}{2} - NQ)$. Так как $MP = NQ$, получаем:

$AP + DQ = \frac{AB}{2} + \frac{CD}{2} = \frac{AB+CD}{2}$

Мы доказали, что $AP + DQ = \frac{AB+CD}{2}$, что и требовалось для доказательства равенства площадей.

Таким образом, $S_{APQD} = S_{PBCQ}$, и прямая $PQ$ делит трапецию на две равновеликие части.

Ответ: Утверждение доказано.

13. В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $CD$ ($\textit{рис.}$ 22.5). Площадь треугольника $ADE$ равна 6. Найдите площадь трапеции $ABCE$.

Рис. 22.5

Пусть $h$ — высота параллелограмма $ABCD$, проведенная к стороне $CD$. Эта же величина является высотой треугольника $ADE$, проведенной из вершины $A$ к основанию $DE$.

Площадь треугольника $ADE$ вычисляется по формуле: $S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h$

По условию, точка $E$ — середина стороны $CD$. Это означает, что длина отрезка $DE$ равна половине длины стороны $CD$: $DE = \frac{1}{2} CD$

Подставим это соотношение в формулу площади треугольника $ADE$: $S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} CD) \cdot h = \frac{1}{4} \cdot CD \cdot h$

Площадь параллелограмма $ABCD$ ($S_{ABCD}$) вычисляется как произведение его основания на высоту: $S_{ABCD} = CD \cdot h$

Теперь мы видим связь между площадью треугольника $ADE$ и площадью всего параллелограмма $ABCD$: $S_{ADE} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$

Зная, что по условию $S_{ADE} = 6$, мы можем найти площадь параллелограмма: $S_{ABCD} = 4 \cdot S_{ADE} = 4 \cdot 6 = 24$

Фигура $ABCE$ является трапецией, так как ее стороны $AB$ и $CE$ параллельны (поскольку $AB \parallel CD$). Площадь этой трапеции можно найти как разность площадей параллелограмма $ABCD$ и треугольника $ADE$: $S_{ABCE} = S_{ABCD} - S_{ADE}$

Подставим найденные значения: $S_{ABCE} = 24 - 6 = 18$

Ответ: 18

14. В треугольнике $ABC$ через точку $M$ пересечения его медиан проведены отрезки, параллельные сторонам треугольника (рис. 22.6). Докажите, что образовавшиеся при этом три трапеции равновелики.

Доказательство:

Пусть дан треугольник $ABC$, его площадь обозначим как $S$. Пусть $M$ – точка пересечения его медиан (центроид). Согласно условию задачи, через точку $M$ проводятся три отрезка, каждый из которых параллелен одной из сторон треугольника. Это создает три трапеции. Рассмотрим каждую из них.

1. Проведем через точку $M$ отрезок $K_1K_2$, параллельный стороне $AB$, где точка $K_1$ лежит на стороне $AC$, а точка $K_2$ – на стороне $BC$. Образуется трапеция $ABK_2K_1$.Треугольник $K_1CK_2$ подобен треугольнику $ACB$ ($\triangle K_1CK_2 \sim \triangle ACB$), так как $K_1K_2 \parallel AB$. Коэффициент подобия $k_C$ равен отношению их высот, опущенных из общей вершины $C$. Пусть $CC_1$ – медиана, проведенная к стороне $AB$. Точка $M$ лежит на этой медиане и, по свойству медиан, делит ее в отношении $CM:MC_1 = 2:1$. Отсюда следует, что $CM = \frac{2}{3}CC_1$. Так как точка $M$ лежит на прямой $K_1K_2$, то отношение высот $\triangle K_1CK_2$ и $\triangle ACB$ равно отношению отрезков медианы: $k_C = \frac{CM}{CC_1} = \frac{2}{3}$.Площадь $\triangle K_1CK_2$ связана с площадью $\triangle ABC$ через квадрат коэффициента подобия: $S_{K_1CK_2} = k_C^2 \cdot S = (\frac{2}{3})^2 S = \frac{4}{9}S$.Тогда площадь трапеции $S_{ABK_2K_1}$ равна разности площадей $\triangle ABC$ и $\triangle K_1CK_2$:$S_{ABK_2K_1} = S - S_{K_1CK_2} = S - \frac{4}{9}S = \frac{5}{9}S$.

2. Аналогично, проведем через точку $M$ отрезок $L_1L_2$, параллельный стороне $BC$ ($L_1 \in AB$, $L_2 \in AC$). Образуется трапеция $BCL_2L_1$. Треугольник $AL_1L_2$ подобен $\triangle ABC$. Коэффициент подобия $k_A$ определяется отношением отрезков медианы $AA_1$, на которой лежит точка $M$: $AM:MA_1 = 2:1$, откуда $AM = \frac{2}{3}AA_1$. Коэффициент подобия $k_A = \frac{AM}{AA_1} = \frac{2}{3}$.Площадь $\triangle AL_1L_2 = k_A^2 \cdot S = (\frac{2}{3})^2 S = \frac{4}{9}S$.Площадь трапеции $BCL_2L_1 = S - S_{AL_1L_2} = S - \frac{4}{9}S = \frac{5}{9}S$.

3. Наконец, проведем через точку $M$ отрезок $N_1N_2$, параллельный стороне $AC$ ($N_1 \in AB$, $N_2 \in BC$). Образуется трапеция $ACN_2N_1$. Треугольник $BN_1N_2$ подобен $\triangle ABC$. Коэффициент подобия $k_B$ определяется отношением отрезков медианы $BB_1$, на которой лежит точка $M$: $BM:MB_1 = 2:1$, откуда $BM = \frac{2}{3}BB_1$. Коэффициент подобия $k_B = \frac{BM}{BB_1} = \frac{2}{3}$.Площадь $\triangle BN_1N_2 = k_B^2 \cdot S = (\frac{2}{3})^2 S = \frac{4}{9}S$.Площадь трапеции $ACN_2N_1 = S - S_{BN_1N_2} = S - \frac{4}{9}S = \frac{5}{9}S$.

Таким образом, все три трапеции имеют одинаковую площадь, равную $\frac{5}{9}$ площади исходного треугольника, следовательно, они равновелики.

Ответ: Доказано, что три образовавшиеся трапеции равновелики. Площадь каждой из них составляет $\frac{5}{9}$ площади исходного треугольника.

15. В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина боковой стороны $AD$ (рис. 22.7). Докажите, что площадь треугольника $BCE$ равна половине площади трапеции $ABCD$.

Для доказательства данного утверждения выполним дополнительное построение. Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $AB$ и $CD$ — основания ($AB \parallel CD$). Точка $E$ — середина боковой стороны $AD$. Продлим отрезок $BE$ до пересечения с прямой $DC$ в точке $F$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DFE$. В этих треугольниках:
1. $AE = ED$ по условию, так как $E$ — середина отрезка $AD$.
2. $\angle AEB = \angle DEF$ как вертикальные углы.
3. $\angle EAB = \angle FDE$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CF$ и секущей $AD$.
Следовательно, треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DFE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников $\triangle ABE \cong \triangle DFE$ следует равенство их площадей ($S_{\triangle ABE} = S_{\triangle DFE}$) и равенство соответствующих сторон ($BE = EF$).

Площадь трапеции $ABCD$ можно представить как сумму площадей четырехугольника $BCDE$ и треугольника $\triangle ABE$:$S_{ABCD} = S_{BCDE} + S_{\triangle ABE}$.
Так как $S_{\triangle ABE} = S_{\triangle DFE}$, мы можем выполнить замену в этом выражении:$S_{ABCD} = S_{BCDE} + S_{\triangle DFE}$.
Сумма площадей $S_{BCDE}$ и $S_{\triangle DFE}$ равна площади большого треугольника $\triangle BCF$. Таким образом, мы доказали, что площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $\triangle BCF$:$S_{ABCD} = S_{\triangle BCF}$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCF$. Отрезок $CE$ соединяет вершину $C$ с точкой $E$ на стороне $BF$. Поскольку из равенства треугольников мы получили, что $BE = EF$, точка $E$ является серединой стороны $BF$. Это означает, что отрезок $CE$ является медианой треугольника $\triangle BCF$.

По свойству медианы, она делит треугольник на два равновеликих треугольника (треугольника с равными площадями). Следовательно:$S_{\triangle BCE} = S_{\triangle CFE}$.

Отсюда площадь всего треугольника $\triangle BCF$ может быть выражена как удвоенная площадь треугольника $\triangle BCE$:$S_{\triangle BCF} = S_{\triangle BCE} + S_{\triangle CFE} = 2 \cdot S_{\triangle BCE}$.

Сопоставив два ключевых равенства, которые мы получили: $S_{ABCD} = S_{\triangle BCF}$ и $S_{\triangle BCF} = 2 \cdot S_{\triangle BCE}$, мы можем заключить:$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle BCE}$.
Разделив обе части равенства на 2, получаем искомое соотношение:$S_{\triangle BCE} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что площадь треугольника $BCE$ равна половине площади трапеции $ABCD$, доказано.

16. Чему равна площадь трапеции ABCD (рис. 22.8), если площадь закрашенного треугольника равна 3 см?

a)

$AD = 2BC$

б)

$AD \parallel OC, BC \parallel OD$

в)

$M - \text{середина } AB$

Рис. 22.8

а)

Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$.

Площадь закрашенного треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot h$. Высота этого треугольника, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую основание $BC$, равна высоте трапеции $h$.

По условию $S_{ABC} = 3$ см², следовательно, $\frac{1}{2} BC \cdot h = 3$, откуда получаем, что $BC \cdot h = 6$.

Также по условию дано, что $AD = 2BC$. Подставим это соотношение в формулу площади трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{2BC+BC}{2} \cdot h = \frac{3BC}{2} \cdot h = \frac{3}{2} (BC \cdot h)$.

Так как $BC \cdot h = 6$, находим площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9$ см².

Ответ: 9 см².

б)

В данном случае фигура является трапецией, которую обозначим как $ADCB$, с основаниями $AB$ и $DC$. Пусть $h$ — высота этой трапеции. Закрашенный треугольник — это $ODC$.

Рассмотрим четырехугольник $AOCD$. Так как $O$ лежит на прямой $AB$, а $AB || DC$, то $AO || DC$. По условию также дано, что $AD || OC$. Если у четырехугольника противолежащие стороны попарно параллельны, то это параллелограмм. Следовательно, $AOCD$ — параллелограмм, и его противолежащие стороны равны: $AO = DC$.

Аналогично рассмотрим четырехугольник $OBCD$. $BO || DC$ (так как $AB || DC$) и $BC || OD$ (по условию). Следовательно, $OBCD$ — также параллелограмм, и $BO = DC$.

Таким образом, мы получили, что $AO = BO = DC$. Пусть длина этих отрезков равна $a$. Тогда длина верхнего основания $AB = AO + BO = 2a$, а длина нижнего основания $DC = a$.

Площадь закрашенного треугольника $ODC$ равна $S_{ODC} = \frac{1}{2} DC \cdot h = \frac{1}{2} a \cdot h$.

По условию $S_{ODC} = 3$ см², значит, $\frac{1}{2} a \cdot h = 3$, откуда $a \cdot h = 6$.

Площадь трапеции $ADCB$ вычисляется по формуле $S_{ADCB} = \frac{AB+DC}{2} \cdot h$. Подставим найденные длины оснований:

$S_{ADCB} = \frac{2a+a}{2} \cdot h = \frac{3a}{2} \cdot h = \frac{3}{2} (a \cdot h)$.

Так как $a \cdot h = 6$, находим площадь трапеции:

$S_{ADCB} = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9$ см².

Ответ: 9 см².

в)

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Площадь закрашенного треугольника $MCD$ равна 3 см².

Продлим отрезок $CM$ до пересечения с прямой $AD$ в точке $K$.

Рассмотрим треугольники $MBC$ и $MAK$.

1. $AM = MB$ (по условию, так как $M$ — середина $AB$).

2. $\angle BMC = \angle AMK$ (как вертикальные углы).

3. $\angle BCM = \angle AKM$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CK$).

Следовательно, треугольники $MBC$ и $MAK$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства треугольников следует равенство их площадей $S_{MBC} = S_{MAK}$ и равенство сторон $CM = MK$.

Площадь трапеции $ABCD$ равна сумме площадей четырехугольника $AMCD$ и треугольника $MBC$: $S_{ABCD} = S_{AMCD} + S_{MBC}$.

Площадь треугольника $KCD$ равна сумме площадей $AMCD$ и $MAK$: $S_{KCD} = S_{AMCD} + S_{MAK}$.

Поскольку $S_{MBC} = S_{MAK}$, то $S_{ABCD} = S_{KCD}$.

Теперь рассмотрим треугольник $KCD$. Так как $CM = MK$, отрезок $DM$ является медианой этого треугольника. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. треугольника с равными площадями). Значит, $S_{MCD} = S_{MKD}$.

Площадь треугольника $KCD$ равна $S_{KCD} = S_{MCD} + S_{MKD} = 2 \cdot S_{MCD}$.

Так как $S_{ABCD} = S_{KCD}$, получаем, что $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{MCD}$.

По условию $S_{MCD} = 3$ см², следовательно, площадь трапеции равна:

$S_{ABCD} = 2 \cdot 3 = 6$ см².

Ответ: 6 см².