Страница 97 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Сформулируйте теорему о площади треугольника.

2. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

3. Сформулируйте вторую теорему о площади треугольника.

4. Как выражается радиус вписанной окружности через площадь и периметр треугольника?

5. Как выражается радиус вписанной окружности через катеты прямоугольного треугольника?

6. Как выражается радиус вписанной окружности через основание равнобедренного треугольника и высоту, опущенную на это основание?

1. Сформулируйте теорему о площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Если $a$ – сторона треугольника (основание), а $h_a$ – высота, опущенная на эту сторону, то площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} a h_a$

Ответ: Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту, $S = \frac{1}{2} a h_a$.

2. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Это является следствием основной теоремы о площади треугольника, так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, и один катет можно рассматривать как основание, а другой — как высоту. Если $a$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника, то его площадь $S$ равна: $S = \frac{1}{2} ab$

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, $S = \frac{1}{2} ab$.

3. Сформулируйте вторую теорему о площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Если $a$ и $b$ – две стороны треугольника, а $\gamma$ – угол, заключенный между этими сторонами, то площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma)$

Ответ: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, $S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma)$.

4. Как выражается радиус вписанной окружности через площадь и периметр треугольника?

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть $S$ – площадь треугольника, $P$ – его периметр, а $p = \frac{P}{2}$ – полупериметр. Тогда радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле: $r = \frac{S}{p}$ Так как $p = \frac{P}{2}$, формулу можно также записать через периметр $P$: $r = \frac{2S}{P}$

Ответ: Радиус вписанной окружности $r$ выражается через площадь $S$ и полупериметр $p$ как $r = \frac{S}{p}$, или через площадь $S$ и периметр $P$ как $r = \frac{2S}{P}$.

5. Как выражается радиус вписанной окружности через катеты прямоугольного треугольника?

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно выразить через его катеты $a$ и $b$ и гипотенузу $c$. Формула имеет вид: $r = \frac{a+b-c}{2}$ Эта формула следует из общего свойства, что расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на сторонах, образующих эту вершину, равны. Для прямого угла это расстояние равно радиусу $r$. Тогда отрезки на катетах равны $r$ и $a-r$, $r$ и $b-r$. Отрезки на гипотенузе равны $a-r$ и $b-r$. Таким образом, $c = (a-r) + (b-r)$, откуда и следует формула. Поскольку гипотенуза $c$ сама выражается через катеты по теореме Пифагора ($c = \sqrt{a^2+b^2}$), радиус вписанной окружности полностью определяется его катетами: $r = \frac{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

Ответ: Радиус вписанной окружности $r$ для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ равен $r = \frac{a+b-c}{2}$.

6. Как выражается радиус вписанной окружности через основание равнобедренного треугольника и высоту, опущенную на это основание?

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием $b$ и высотой $h$, опущенной на это основание. Радиус вписанной окружности $r$ можно найти, используя общую формулу $r = S/p$. 1. Площадь треугольника $S$ равна: $S = \frac{1}{2} b h$ 2. Высота, проведенная к основанию, является также медианой. Она делит основание на два отрезка длиной $b/2$. Боковую сторону $a$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной: $a = \sqrt{h^2 + (\frac{b}{2})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4h^2 + b^2}$ 3. Периметр треугольника $P = 2a + b = \sqrt{4h^2 + b^2} + b$. 4. Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{\sqrt{4h^2 + b^2} + b}{2}$. 5. Подставим площадь и полупериметр в формулу для радиуса: $r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2}bh}{\frac{\sqrt{4h^2 + b^2} + b}{2}} = \frac{bh}{\sqrt{4h^2 + b^2} + b}$

Ответ: Радиус вписанной окружности $r$ в равнобедренный треугольник выражается через основание $b$ и высоту $h$ к нему по формуле $r = \frac{bh}{\sqrt{4h^2 + b^2} + b}$.

1. На рисунке 21.4 укажите равновеликие треугольники.

Рис. 21.4

Равновеликие фигуры — это фигуры с одинаковой площадью. Для того чтобы определить, какие из представленных треугольников равновелики, необходимо вычислить площадь каждого из них. Примем сторону одной клетки сетки за 1 условную единицу. Площадь треугольника будем вычислять по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – длина основания треугольника, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

а) Ни одна из сторон этого треугольника не параллельна линиям сетки. Для вычисления его площади воспользуемся методом описанного прямоугольника. Площадь треугольника 'а' равна разности площади описанного прямоугольника ($S_{прям} = 4 \times 4 = 16$ кв. ед.) и суммарной площади трех прямоугольных треугольников, отсекаемых по углам. Площади этих треугольников равны $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5$ кв. ед., $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2$ кв. ед. и $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2$ кв. ед. (площадь трапеции в основании была вычислена как два треугольника). Таким образом, площадь треугольника 'а' составляет: $S_а = 16 - (4.5 + 2 + 2) = 7.5$ кв. ед.

б) У данного треугольника можно выбрать горизонтальное основание, длина которого $a = 6$ единиц. Высота, проведенная к этому основанию, $h = 2$ единицы. Площадь треугольника: $S_б = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$ кв. ед.

в) Основание этого треугольника равно $a = 4$ единицы, а высота, проведенная к нему, $h = 3$ единицы. Площадь треугольника: $S_в = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ кв. ед.

г) Основание треугольника равно $a = 3$ единицы, высота $h = 3$ единицы. Площадь треугольника: $S_г = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$ кв. ед.

д) Основание треугольника равно $a = 3$ единицы, высота $h = 2$ единицы. Площадь треугольника: $S_д = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ кв. ед.

е) Основание треугольника равно $a = 3$ единицы, высота $h = 3$ единицы. Площадь треугольника: $S_е = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$ кв. ед.

ж) Основание треугольника равно $a = 4$ единицы, высота $h = 2$ единицы. Площадь треугольника: $S_ж = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$ кв. ед.

з) В качестве основания можно взять вертикальную сторону, ее длина $a = 4$ единицы. Высота, проведенная к ней, $h = 2$ единицы. Площадь треугольника: $S_з = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$ кв. ед.

Сравнив вычисленные площади, можно выделить следующие группы равновеликих треугольников:

• Треугольники б) и в) имеют одинаковую площадь, равную 6 кв. ед.
• Треугольники г) и е) имеют одинаковую площадь, равную 4.5 кв. ед.
• Треугольники ж) и з) имеют одинаковую площадь, равную 4 кв. ед.

Ответ: равновеликими являются следующие группы треугольников: (б, в); (г, е); (ж, з).

2. Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны:

а) 4 см и 7 см;

б) 1,2 м и 35 дм.

а) Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. В данном случае катеты равны 4 см и 7 см. Подставим эти значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 2 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 14 \text{ см}^2$.
Ответ: 14 см².

б) Даны катеты 1,2 м и 35 дм. Для вычисления площади необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем метры в дециметры. Зная, что 1 м = 10 дм, получаем:
$1,2 \text{ м} = 1,2 \cdot 10 = 12 \text{ дм}$.
Теперь, когда оба катета выражены в дециметрах (12 дм и 35 дм), мы можем вычислить площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ дм} \cdot 35 \text{ дм} = 6 \text{ дм} \cdot 35 \text{ дм} = 210 \text{ дм}^2$.
Ответ: 210 дм².