Страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Найдите площадь трапеции, основания которой 12 см и 16 см, а высота 15 см.

1. Площадь трапеции вычисляется по формуле, которая связывает её основания и высоту. Формула для нахождения площади трапеции $S$ имеет следующий вид:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ – это длины оснований трапеции, а $h$ – её высота.

В соответствии с условием задачи, мы имеем следующие данные:

• длина первого основания $a = 12$ см;
• длина второго основания $b = 16$ см;
• высота трапеции $h = 15$ см.

Подставим эти значения в формулу для вычисления площади:

$S = \frac{12 + 16}{2} \cdot 15$

Выполним вычисления по шагам:

1. Найдем сумму длин оснований:

$12 + 16 = 28$ см

2. Найдем полусумму оснований (разделим сумму на 2):

$\frac{28}{2} = 14$ см

3. Умножим полученное значение на высоту трапеции:

$S = 14 \cdot 15 = 210$ см²

Таким образом, площадь трапеции равна 210 квадратных сантиметров.

Ответ: 210 см².

2. Средняя линия трапеции равна $3$, высота равна $2$. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой, связывающей площадь, среднюю линию и высоту.

Площадь трапеции ($S$) можно вычислить по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Средняя линия трапеции ($m$) по определению равна полусумме оснований: $m = \frac{a+b}{2}$.

Если подставить выражение для средней линии в формулу площади, получим более простую формулу:

$S = m \cdot h$

В условии задачи даны все необходимые значения:

• Средняя линия $m = 3$
• Высота $h = 2$

Подставим эти значения в формулу:

$S = 3 \cdot 2 = 6$

Таким образом, площадь трапеции равна 6.

Ответ: 6

3. Основания трапеции равны 10 см и 35 см, площадь равна $225 \text{ см}^2$.

Найдите ее высоту.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $S$ — площадь, $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.
Из условия нам известны:
- основание $a = 10$ см;
- основание $b = 35$ см;
- площадь $S = 225$ см².
Необходимо найти высоту $h$.

Выразим высоту $h$ из формулы площади трапеции:
$2S = (a + b) \cdot h$
$h = \frac{2S}{a + b}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу и произведем расчет:
$h = \frac{2 \cdot 225}{10 + 35}$
$h = \frac{450}{45}$
$h = 10$
Высота трапеции равна 10 см.
Ответ: 10 см.

4. Высота трапеции равна $20 \text{ см}$, площадь — $400 \text{ см}^2$. Найдите среднюю линию трапеции.

Для решения этой задачи можно использовать две основные формулы, связанные с трапецией: формулу площади и формулу средней линии.

1. Площадь трапеции (S) вычисляется как произведение полусуммы её оснований (a и b) на высоту (h):
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

2. Средняя линия трапеции (m) по определению равна полусумме её оснований:
$m = \frac{a+b}{2}$

Если мы подставим вторую формулу в первую, то получим формулу для площади трапеции через её среднюю линию и высоту: $S = m \cdot h$

Из этой формулы мы можем выразить искомую среднюю линию m: $m = \frac{S}{h}$

По условию задачи нам известны площадь и высота трапеции:
S = 400 см²
h = 20 см

Подставим эти значения в нашу формулу: $m = \frac{400 \text{ см}^2}{20 \text{ см}} = 20 \text{ см}$

Ответ: 20 см.

5. Площадь трапеции равна $200 \text{ см}^2$. Одно основание равно $26 \text{ см}$, высота равна $10 \text{ см}$. Найдите второе основание трапеции.

Для решения этой задачи используется формула площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $S$ — это площадь, $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

По условию нам известны следующие величины:
Площадь $S = 200$ см².
Одно из оснований, назовем его $a$, равно $26$ см.
Высота $h = 10$ см.

Необходимо найти длину второго основания $b$.

Подставим известные значения в формулу площади и получим уравнение:
$200 = \frac{26 + b}{2} \cdot 10$

Теперь решим это уравнение. Для начала упростим правую часть, разделив 10 на 2:
$200 = (26 + b) \cdot 5$

Далее, чтобы найти сумму оснований, разделим обе части уравнения на 5:
$\frac{200}{5} = 26 + b$
$40 = 26 + b$

Наконец, найдем $b$, вычтя 26 из 40:
$b = 40 - 26$
$b = 14$

Таким образом, второе основание трапеции равно 14 см.

Ответ: 14 см.

6. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a = 14$ и $b = 26$. Периметр трапеции $P = 60$. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, обозначим их длину как $c$.

Периметр трапеции — это сумма длин всех ее сторон: $P = a + b + c + c = a + b + 2c$.

Подставим известные значения в формулу периметра, чтобы найти длину боковой стороны:

$60 = 14 + 26 + 2c$

$60 = 40 + 2c$

$2c = 60 - 40$

$2c = 20$

$c = 10$

Итак, длина каждой боковой стороны равна 10.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Чтобы найти высоту, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. В равнобедренной трапеции две высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании два равных отрезка. Длину одного такого отрезка можно найти по формуле:

$\frac{b - a}{2} = \frac{26 - 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Этот отрезок, боковая сторона и высота трапеции образуют прямоугольный треугольник. Боковая сторона $c=10$ является гипотенузой, а отрезок длиной 6 и высота $h$ — катетами. По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$c^2 = h^2 + (\frac{b-a}{2})^2$

$10^2 = h^2 + 6^2$

$100 = h^2 + 36$

$h^2 = 100 - 36$

$h^2 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{14 + 26}{2} \cdot 8 = \frac{40}{2} \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160$

Ответ: 160.

7. Основания трапеции равны 36 см и 12 см, боковая сторона, равная 7 см, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания трапеции, а $h$ - её высота.

Из условия задачи нам известны длины оснований: $a = 36$ см и $b = 12$ см. Также известна длина одной из боковых сторон, назовем её $c$, которая равна $7$ см. Эта сторона образует с одним из оснований угол $150^\circ$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, составляет $180^\circ$. Поскольку угол $150^\circ$ является тупым, он должен прилегать к меньшему основанию. Угол, прилежащий к большему основанию со стороны той же боковой стороны, будет острым и будет равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Чтобы найти высоту трапеции $h$, проведем её из вершины тупого угла к большему основанию. В результате мы получим прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковая сторона трапеции ($c = 7$ см) будет гипотенузой, а высота $h$ — катетом, лежащим напротив угла в $30^\circ$.

Из свойств прямоугольного треугольника известно, что катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, мы можем вычислить высоту:$h = c \cdot \sin(30^\circ) = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5$ см.

Теперь, когда все необходимые значения известны, мы можем рассчитать площадь трапеции:$S = \frac{36 + 12}{2} \cdot 3.5 = \frac{48}{2} \cdot 3.5 = 24 \cdot 3.5 = 84$ см$^2$.

Ответ: 84 см$^2$.

8. Найдите площади трапеций, изображенных на рисунке 22.2. Стороны квадратных клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 22.2

а) Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Сторона каждой клетки равна 1, поэтому мы можем определить размеры трапеции, посчитав клетки.

Нижнее основание $a$ равно 4.
Верхнее основание $b$ равно 2.
Высота $h$ (расстояние между основаниями) равна 3.

Подставим эти значения в формулу площади:

$S = \frac{4 + 2}{2} \times 3 = \frac{6}{2} \times 3 = 3 \times 3 = 9$

Ответ: 9

б) Данная фигура является четырехугольником (хотя и не является трапецией, так как у нее нет параллельных сторон). Для нахождения его площади можно использовать метод декомпозиции — разбить фигуру на более простые, например, на два треугольника. Проведем горизонтальную диагональ. Длина этой диагонали будет общим основанием для двух полученных треугольников.

Длина диагонали, посчитанная по клеткам, равна 5.

Теперь у нас есть два треугольника:

1. Верхний треугольник: основание равно 5, высота (расстояние от верхней вершины до диагонали) равна 2. Его площадь: $S_1 = \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5$.
2. Нижний треугольник: основание равно 5, высота (расстояние от нижней вершины до диагонали) равна 2. Его площадь: $S_2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5$.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S = S_1 + S_2 = 5 + 5 = 10$

Ответ: 10

9. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 3 см и 1 см, большая боковая сторона составляет с основанием угол $45^\circ$.

Пусть дана прямоугольная трапеция, у которой основания равны $a$ и $b$, а высота равна $h$. По условию задачи, основания равны $a = 3$ см и $b = 1$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Для нахождения площади нам необходимо определить высоту трапеции $h$. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой. Назовем ее $h$. Другая, большая боковая сторона, наклонена к основанию под углом $45^\circ$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Эта высота разделит трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник. Стороны прямоугольника будут равны меньшему основанию и высоте трапеции. Катеты полученного прямоугольного треугольника будут равны высоте трапеции $h$ и отрезку на большем основании, который равен разности длин оснований.

Длина этого отрезка (одного из катетов) равна:$a - b = 3 \text{ см} - 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

В полученном прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45^\circ$ (по условию). Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, второй острый угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны. Один катет равен $2$ см, значит и второй катет, который является высотой трапеции, также равен $2$ см.Таким образом, высота трапеции $h = 2$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{3+1}{2} \cdot 2 = \frac{4}{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}^2$.

Ответ: 4 см².

10. Найдите площадь трапеции, у которой средняя линия равна 10 см, боковая сторона — 6 см и составляет с одним из оснований угол $150^\circ$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле через среднюю линию $m$ и высоту $h$: $S = m \cdot h$.

Из условия задачи нам известны:

Средняя линия $m = 10$ см.

Боковая сторона $c = 6$ см.

Угол между этой боковой стороной и одним из оснований равен $150^\circ$.

Чтобы найти площадь, нам необходимо определить высоту трапеции $h$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Так как один из этих углов равен $150^\circ$ (это тупой угол, он находится при меньшем основании), то другой угол, прилежащий к этой же боковой стороне (острый угол при большем основании), будет равен:

$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Теперь проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Мы получим прямоугольный треугольник, в котором:

- гипотенуза — это данная боковая сторона, равная $6$ см;

- один из острых углов равен $30^\circ$;

- катет, противолежащий этому углу, является высотой трапеции $h$.

Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, высота трапеции:

$h = c \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

$S = m \cdot h = 10 \cdot 3 = 30$ см².

Ответ: $30$ см².