Страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как можно найти площадь выпуклого многоугольника?

2. Чему равна площадь выпуклого четырехугольника?

3. Чему равна площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны?

1. Как можно найти площадь выпуклого многоугольника?
Одним из основных способов нахождения площади выпуклого многоугольника является метод триангуляции. Он заключается в том, чтобы разбить многоугольник на несколько треугольников, площади которых легко вычислить. Для этого из любой вершины многоугольника проводят все возможные диагонали. Выпуклый $n$-угольник при этом разбивается на $(n-2)$ треугольника. Общая площадь многоугольника будет равна сумме площадей всех этих треугольников. Площадь каждого отдельного треугольника можно найти, используя подходящую формулу, например, формулу Герона (если известны все стороны) или формулу площади через произведение двух сторон на синус угла между ними.
Ответ: Площадь выпуклого многоугольника можно найти как сумму площадей треугольников, на которые он разбит диагоналями, проведенными из одной его вершины.

2. Чему равна площадь выпуклого четырехугольника?
Площадь произвольного выпуклого четырехугольника может быть найдена через его диагонали и угол между ними. Она равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними. Пусть $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей четырехугольника, а $\alpha$ — один из углов между этими диагоналями. Тогда его площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$
Ответ: Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

3. Чему равна площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны?
Это является частным случаем формулы, приведенной в предыдущем пункте. Если диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны, то угол между ними равен $90^\circ$. Синус прямого угла равен единице, то есть $\sin 90^\circ = 1$. Подставив это значение в общую формулу площади четырехугольника, получаем:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin 90^\circ = \frac{1}{2} d_1 d_2 \cdot 1 = \frac{1}{2} d_1 d_2$
Таким образом, площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения длин его диагоналей. Примерами таких фигур являются ромб и дельтоид.
Ответ: Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей.

1. Найдите площадь правильного шестиугольника, сторона которого равна 1 см.

1. Правильный шестиугольник можно разделить на шесть одинаковых равносторонних треугольников. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника. В данном случае сторона $a = 1$ см.

Площадь одного равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{треуг.} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 1$ см в эту формулу, чтобы найти площадь одного треугольника:

$S_{треуг.} = \frac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см²

Так как шестиугольник состоит из шести таких треугольников, его общая площадь равна сумме площадей этих шести треугольников:

$S_{шестиуг.} = 6 \times S_{треуг.} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{6\sqrt{3}}{4}$

Сократив дробь, получаем окончательный результат:

$S_{шестиуг.} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см²

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см²

2. Диагонали выпуклого четырехугольника равны 6 см и 8 см, угол между ними равен $30^\circ$. Найдите площадь этого четырехугольника.

Для нахождения площади выпуклого четырехугольника можно использовать формулу, которая связывает длины его диагоналей и синус угла между ними.
Формула площади выглядит следующим образом:
$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\alpha)$
где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей четырехугольника, а $\alpha$ — угол между ними.
Согласно условию задачи, мы имеем:
Длина первой диагонали $d_1 = 6$ см.
Длина второй диагонали $d_2 = 8$ см.
Угол между диагоналями $\alpha = 30^\circ$.
Подставим эти значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ)$
Значение синуса угла $30^\circ$ является табличной величиной и равно $\frac{1}{2}$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$
Теперь вычислим произведение:
$S = \frac{1 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{48}{4} = 12$
Площадь четырехугольника равна 12 см².
Ответ: 12 см².

3. Диагонали четырехугольника перпендикулярны и равны 4 см и 5 см. Найдите площадь этого четырехугольника.

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле, которая связывает длины его диагоналей и синус угла между ними:$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin{\alpha}$, где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

В условии задачи сказано, что диагонали данного четырехугольника перпендикулярны. Это означает, что угол между ними $\alpha$ равен $90^\circ$.

Мы знаем, что синус угла $90^\circ$ равен единице: $\sin{90^\circ} = 1$.Подставив это значение в общую формулу, мы получим частную формулу для площади четырехугольника с перпендикулярными диагоналями:$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \times 1 = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Теперь мы можем использовать эту упрощенную формулу и подставить в нее значения длин диагоналей, которые даны в условии: $d_1 = 4$ см и $d_2 = 5$ см.$S = \frac{1}{2} \times 4 \text{ см} \times 5 \text{ см}$.

Выполним вычисления:$S = \frac{1}{2} \times 20 \text{ см}^2 = 10 \text{ см}^2$.

Ответ: $10 \text{ см}^2$.

4. Найдите площади многоугольников, изображенных на рисунке 23.4. Стороны квадратных клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 23.4

а) Для нахождения площади шестиугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно воспользоваться двумя способами. Поскольку сторона одной клетки равна 1, площадь одной клетки равна 1 квадратной единице.
Способ 1: Разложение на простые фигуры
Шестиугольник можно разложить на один центральный прямоугольник и два одинаковых треугольника по бокам.
1. Центральный прямоугольник имеет ширину 2 клетки и высоту 4 клетки. Его площадь $S_{прямоугольника} = 2 \times 4 = 8$.
2. По бокам от прямоугольника расположены два одинаковых треугольника. Основание каждого треугольника равно 4 клеткам, а высота — 1 клетке. Площадь одного треугольника вычисляется как $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$.
3. Общая площадь шестиугольника — это сумма площадей прямоугольника и двух треугольников:
$S_{общая} = S_{прямоугольника} + 2 \times S_{треугольника} = 8 + 2 \times 2 = 12$ квадратных единиц.

Способ 2: Формула Пика
Площадь многоугольника, все вершины которого лежат в узлах целочисленной решётки, можно вычислить по формуле Пика: $S = В + \frac{Г}{2} - 1$, где $В$ — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а $Г$ — количество целочисленных точек на его границе.
1. Подсчитаем количество точек на границе ($Г$). На границе шестиугольника лежат 8 узловых точек. Таким образом, $Г = 8$.
2. Подсчитаем количество точек внутри ($В$). Внутри фигуры находятся 9 узловых точек. Таким образом, $В = 9$.
3. Вычислим площадь по формуле:
$S = 9 + \frac{8}{2} - 1 = 9 + 4 - 1 = 12$ квадратных единиц.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 12.

б) Для нахождения площади восьмиугольника также можно применить два способа.
Способ 1: Метод вычитания
Фигуру можно представить как большой квадрат, из которого вырезали четыре одинаковых треугольника по углам.
1. Восьмиугольник вписан в квадрат со стороной 6 клеток. Площадь этого квадрата $S_{квадрата} = 6 \times 6 = 36$ квадратных единиц.
2. По углам этого квадрата расположены четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катеты каждого треугольника равны 2 клеткам. Площадь одного такого треугольника $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ квадратные единицы.
3. Чтобы найти площадь восьмиугольника, нужно из площади большого квадрата вычесть суммарную площадь четырех треугольников:
$S_{общая} = S_{квадрата} - 4 \times S_{треугольника} = 36 - 4 \times 2 = 36 - 8 = 28$ квадратных единиц.

Способ 2: Формула Пика
Используем формулу Пика $S = В + \frac{Г}{2} - 1$.
1. Подсчитаем количество точек на границе ($Г$). На границе восьмиугольника лежат 16 узловых точек. Таким образом, $Г = 16$.
2. Подсчитаем количество точек внутри ($В$). Внутри фигуры находится 21 узловая точка. Таким образом, $В = 21$.
3. Вычислим площадь по формуле:
$S = 21 + \frac{16}{2} - 1 = 21 + 8 - 1 = 28$ квадратных единиц.
Оба способа приводят к одному и тому же ответу.
Ответ: 28.