Страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Через вершину $C$ проведите прямую, делящую трапецию $ABCD$ (рис. 24.14) на две равновеликие части.

Рис. 24.14

Для решения задачи необходимо найти прямую, проходящую через вершину C, которая делит площадь трапеции ABCD пополам. Сначала вычислим площадь трапеции.

Примем сторону одной клетки за 1. Из рисунка видно, что трапеция имеет следующие размеры:

• Длина нижнего основания $AB = a = 4$.
• Длина верхнего основания $DC = b = 3$.
• Высота трапеции $h = 4$.

Искомая прямая должна разделить трапецию на две равновеликие части, то есть на две фигуры с площадью $14 / 2 = 7$ квадратных единиц каждая. Эта прямая будет выходить из вершины C и пересекать одну из сторон трапеции, AB или AD.

Рассмотрим вариант, когда прямая пересекает основание AB в некоторой точке K. В этом случае трапеция делится на треугольник CBK и четырехугольник ADCK. Площадь треугольника CBK должна быть равна 7.Высота треугольника CBK, проведенная из вершины C к основанию BK, совпадает с высотой трапеции и равна $h=4$. Площадь треугольника равна:$S_{CBK} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot h = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot 4 = 2 \cdot BK$Приравниваем площадь к требуемому значению:$2 \cdot BK = 7$$BK = 3.5$Длина основания AB равна 4, поэтому точка K, находящаяся на расстоянии 3.5 от точки B, лежит на отрезке AB.

Таким образом, искомая прямая — это отрезок, соединяющий вершину C с точкой K на основании AB, причем точка K находится на расстоянии 3.5 единицы от точки B.

Ответ: Следует провести прямую через вершину C и точку K, лежащую на основании AB, так, чтобы расстояние от точки B до точки K составляло 3.5 единицы (или, что то же самое, расстояние от точки A до точки K составляло $4 - 3.5 = 0.5$ единицы).

14. Используя разрезания, показанные на рисунке 24.15 пунктиром, докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению его наибольшей и наименьшей диагоналей.

Рис. 24.15

Для доказательства утверждения мы воспользуемся разрезанием правильного восьмиугольника, показанным на рисунке, чтобы вычислить его площадь. Затем мы вычислим произведение длин его наибольшей и наименьшей диагоналей и сравним полученные результаты.

Пусть сторона правильного восьмиугольника равна $a$. Все внутренние углы правильного восьмиугольника равны $135^\circ$.

1. Вычисление площади восьмиугольника с помощью разрезания.

Разрежем восьмиугольник, как показано на рисунке, на центральный прямоугольник и два одинаковых равнобедренных трапеции по бокам (если ориентировать восьмиугольник так, чтобы две его стороны были вертикальны) или сверху и снизу (как на рисунке). Для удобства будем считать, что разрезы создают центральный прямоугольник и две трапеции сверху и снизу.

Рассмотрим одну из трапеций. Ее боковые стороны равны стороне восьмиугольника $a$, а один из углов при основании равен $135^\circ$. Меньшее основание трапеции также равно $a$.

Найдем высоту трапеции $h$ и длину ее большего основания $d$. Проведем высоту из вершины при меньшем основании. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $a$ и острыми углами $45^\circ$ (поскольку $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$).

Высота трапеции $h$ равна катету этого треугольника: $h = a \cdot \sin(45^\circ) = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Второй катет также равен $h$. Большее основание трапеции $d$ длиннее меньшего основания на два таких катета: $d = a + 2h = a + 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = a + a\sqrt{2} = a(1+\sqrt{2})$.

Теперь мы можем вычислить площади частей:

• Центральный прямоугольник имеет стороны $a$ и $d$. Его площадь: $S_{прям} = a \cdot d = a \cdot a(1+\sqrt{2}) = a^2(1+\sqrt{2})$.
• Площадь одной трапеции: $S_{трап} = \frac{a+d}{2} \cdot h = \frac{a+a(1+\sqrt{2})}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a(2+\sqrt{2})}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^2(2+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{a^2(2\sqrt{2}+2)}{4} = \frac{a^2(\sqrt{2}+1)}{2}$.

Площадь всего восьмиугольника равна сумме площади прямоугольника и площадей двух трапеций:

$S_{восьм} = S_{прям} + 2S_{трап} = a^2(1+\sqrt{2}) + 2 \cdot \frac{a^2(\sqrt{2}+1)}{2} = a^2(1+\sqrt{2}) + a^2(1+\sqrt{2}) = 2a^2(1+\sqrt{2})$.

2. Вычисление произведения наибольшей и наименьшей диагоналей.

В правильном восьмиугольнике есть три типа диагоналей разной длины.

• Наименьшая диагональ ($D_{min}$) соединяет две вершины через одну.
• Наибольшая диагональ ($D_{max}$) соединяет две противоположные вершины.

Для удобства вычислений воспользуемся радиусом $R$ описанной окружности восьмиугольника.

Наибольшая диагональ проходит через центр окружности, поэтому ее длина $D_{max} = 2R$.

Наименьшая диагональ является основанием равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами $R$ и центральным углом, равным $2 \cdot \frac{360^\circ}{8} = 90^\circ$. По теореме Пифагора:$D_{min}^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$, откуда $D_{min} = R\sqrt{2}$.

Произведение диагоналей равно:$P = D_{max} \cdot D_{min} = (2R) \cdot (R\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}R^2$.

Теперь выразим площадь восьмиугольника через $R$. Восьмиугольник состоит из 8 одинаковых равнобедренных треугольников с боковыми сторонами $R$ и углом между ними $45^\circ$.$S_{восьм} = 8 \cdot (\frac{1}{2} R^2 \sin(45^\circ)) = 4R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}R^2$.

3. Сравнение результатов.

Мы получили, что площадь восьмиугольника $S_{восьм} = 2\sqrt{2}R^2$ и произведение его наибольшей и наименьшей диагоналей $P = 2\sqrt{2}R^2$.

Следовательно, $S_{восьм} = P$.

Таким образом, мы доказали, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению его наибольшей и наименьшей диагоналей.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь правильного восьмиугольника, вычисленная с помощью разрезания на центральный прямоугольник и две трапеции, равна $2a^2(1+\sqrt{2})$. Произведение наибольшей и наименьшей диагоналей также равно $2a^2(1+\sqrt{2})$ (что эквивалентно $2\sqrt{2}R^2$), что и доказывает исходное утверждение.

15. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке $24.16$, на четыре равные части.

Рис. $24.16$

Для того чтобы разрезать фигуру на четыре равные части, необходимо сначала определить ее общую площадь. Фигура на рисунке состоит из 8 одинаковых квадратных клеток.

Поскольку фигуру нужно разделить на четыре равные (то есть конгруэнтные) части, площадь каждой части должна составлять $8 \div 4 = 2$ квадратные клетки. Фигура, состоящая из двух квадратных клеток, соединенных общей стороной, называется домино. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы разрезать исходную фигуру на четыре одинаковые части в форме домино.

Один из возможных способов решения заключается в следующем. Исходную фигуру можно мысленно представить состоящей из двух частей: верхнего прямоугольника размером $1 \times 2$ клетки (это горизонтальное домино) и примыкающего к нему снизу прямоугольника размером $2 \times 3$ клетки.

Верхнее домино можно сразу отделить — это будет первая из четырех равных частей. Оставшийся прямоугольник размером $2 \times 3$ клетки легко делится на три одинаковые части, каждая из которых будет представлять собой вертикальное домино размером $2 \times 1$ клетки. В результате такого разрезания мы получим четыре конгруэнтные части, и все они будут домино.

Наглядное изображение этого способа разрезания представлено на рисунке ниже. Пунктирные линии показывают, где должны проходить разрезы.

Ответ: Фигуру следует разрезать на четыре равные части, каждая из которых является домино (прямоугольником $1 \times 2$ клетки). Один из способов это сделать: отделить верхнюю часть фигуры, представляющую собой горизонтальное домино, а оставшуюся нижнюю часть (прямоугольник $2 \times 3$ клетки) разрезать на три одинаковых вертикальных домино.

16. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке 24.17, на четыре равные части.

Рис. 24.17

Задача в представленном виде, скорее всего, содержит опечатку. Фигура на рисунке состоит из 18 квадратных клеток. Чтобы разрезать ее на четыре равные (то есть конгруэнтные или одинаковые по площади) части, площадь каждой части должна быть $18 / 4 = 4.5$ клетки. Решение подобных головоломок в школьном курсе обычно предполагает, что части состоят из целого числа клеток. Это означает, что исходная фигура, вероятно, была изображена неверно.

Рассмотрим два наиболее вероятных варианта фигуры, которые могли иметься в виду.

Вариант 1: Фигура представляет собой рамку 4x4

Возможно, имелась в виду фигура, состоящая из 12 клеток, которая образует квадратную рамку размером 4x4 с вырезанным центральным квадратом 2x2. Площадь такой фигуры составляет $4 \times 4 - 2 \times 2 = 12$ клеток. Эту фигуру можно разрезать на 4 равные части, каждая площадью $12 / 4 = 3$ клетки. Каждая такая часть является L-образным тримино.

Разрезание показано на схеме ниже. Каждая из четырех частей (обозначены разными цветами) является одинаковой L-образной фигурой из трех клеток.

Ответ: Фигуру (рамку 4x4) можно разрезать на четыре равных L-образных тримино, как показано на схеме.

Вариант 2: Фигура представляет собой квадрат 4x4

Другой распространенный вариант подобных задач — разрезание квадрата 4x4. Площадь такой фигуры составляет 16 клеток. При делении на 4 равные части каждая будет иметь площадь $16 / 4 = 4$ клетки. Существует несколько способов разрезать квадрат 4x4 на четыре равные части (тетромино), один из наиболее известных — разрезание на четыре L-образных тетромино.

Разрезание показано на схеме ниже. Каждая из четырех частей является одинаковой L-образной фигурой из четырех клеток (конгруэнтны с точностью до поворота).

Ответ: Фигуру (квадрат 4x4) можно разрезать на четыре равных L-образных тетромино, как показано на схеме.

17. Разрежьте правильный: а) шестиугольник; б) восьмиугольник на параллелограммы (рис. 24.18).

а)

б)

Рис. 24.18

а) Чтобы разрезать правильный шестиугольник на параллелограммы, достаточно провести три отрезка от его центра к трем вершинам, взятым через одну. Пусть вершины шестиугольника последовательно обозначены как $A, B, C, D, E, F$, а его центр — точка $O$. Проведем отрезки $OA$, $OC$ и $OE$.

В результате шестиугольник разделяется на три четырехугольника: $OABC$, $OCDE$ и $OEFA$. Рассмотрим любой из них, например, $OABC$. Его стороны — это две стороны исходного шестиугольника ($AB$ и $BC$) и два радиуса описанной окружности ($OA$ и $OC$).

Ключевым свойством правильного шестиугольника является то, что его сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, $AB = BC = CO = OA$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Аналогично, четырехугольники $OCDE$ и $OEFA$ также являются ромбами.

Поскольку ромб является частным случаем параллелограмма, мы разрезали правильный шестиугольник на три параллелограмма.

Ответ: Правильный шестиугольник можно разрезать на три ромба (которые являются параллелограммами), соединив его центр с тремя вершинами через одну.

б) Правильный восьмиугольник можно разрезать на 6 параллелограммов. Это общее свойство для всех центрально-симметричных многоугольников с $2n$ сторонами, которые можно разрезать на $\frac{n(n-1)}{2}$ параллелограммов. Для восьмиугольника $2n=8$, значит $n=4$, и число параллелограммов равно $\frac{4(4-1)}{2} = 6$.

В случае правильного восьмиугольника, эти 6 параллелограммов представляют собой два квадрата и четыре одинаковых ромба. Внутренний угол правильного восьмиугольника равен $135^\circ$. Углы у получившихся ромбов будут равны $45^\circ$ и $135^\circ$.

Хотя построение разрезающих линий может быть сложным для описания, можно представить итоговую композицию. Четыре из шести параллелограммов (два квадрата и два ромба) сходятся в центре восьмиугольника. Сумма их углов в этой центральной точке составляет $360^\circ$: два прямых угла от квадратов ($90^\circ+90^\circ$) и по одному острому и тупому углу от ромбов ($45^\circ+135^\circ$) дают в сумме $90^\circ+90^\circ+45^\circ+135^\circ=360^\circ$. Оставшиеся два ромба располагаются на периферии, примыкая к центральной группе фигур и завершая формирование восьмиугольника.

Ответ: Правильный восьмиугольник можно разрезать на 6 параллелограммов, а именно на два квадрата и четыре ромба.

18. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке 24.19, на две равные части.

Рис. 24.19

Фигура, изображенная на рисунке, представляет собой прямоугольник размером $8 \times 4$ клеток. Его общая площадь составляет $S = 8 \times 4 = 32$ квадратных клетки.

Чтобы разрезать эту фигуру на две равные (конгруэнтные) части, необходимо, чтобы площадь каждой части была равна половине общей площади, то есть $S_{части} = \frac{32}{2} = 16$ квадратных клеток. Любой разрез, обладающий центральной симметрией относительно центра прямоугольника, разделит его на две конгруэнтные фигуры.

Центр симметрии данного прямоугольника находится в его геометрическом центре. Если рассматривать сетку 8x8, на которой расположена фигура, то центр прямоугольника совпадает с центром сетки. Примем, что координаты сетки изменяются по оси $x$ от 0 до 8 и по оси $y$ от 0 до 8. Тогда прямоугольник занимает область $x \in [0, 8]$, $y \in [2, 6]$, а его центр симметрии находится в точке $(4, 4)$.

Один из возможных способов разреза — это ломаная линия, которая симметрична относительно центра $(4, 4)$. Например, можно провести разрез по следующему пути, соединяющему левую и правую стороны прямоугольника: от точки $(0, 5)$ до $(4, 5)$, затем вертикально вниз до $(4, 3)$, и далее горизонтально до $(8, 3)$.

Такой разрез делит исходный прямоугольник на две одинаковые Z-образные фигуры. Площадь каждой из них составляет 16 клеток, что соответствует половине площади всего прямоугольника. Ниже представлен данный разрез.

Ответ: Один из возможных способов разрезать фигуру на две равные части показан на рисунке. Разрез представляет собой ломаную линию, симметричную относительно центра прямоугольника. В результате получаются две конгруэнтные Z-образные фигуры, каждая площадью 16 квадратных клеток.

19. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке 24.20, на две равные части.

Рис. 24.20

Решение:

Для того чтобы разрезать фигуру на две равные части, необходимо найти такой разрез, который разделит ее на две конгруэнтные, то есть одинаковые по форме и размеру, фигуры. Проще всего это сделать, если фигура обладает центральной симметрией.

1. Найдем площадь фигуры. Фигура нарисована на клетчатой бумаге. Посчитаем количество клеток, из которых она состоит. Фигуру можно мысленно разбить на три прямоугольника:

• Центральный прямоугольник размером $6 \times 5 = 30$ клеток.
• Левый «столбик» размером $2 \times 6 = 12$ клеток.
• Нижний «выступ» размером $2 \times 1 = 2$ клетки.

2. Найдем центр симметрии. Фигуры такого типа часто имеют центр точечной (центральной) симметрии. Это точка, при повороте на $180^\circ$ вокруг которой фигура совпадает сама с собой. Любая линия, проходящая через центр симметрии и имеющая симметрию относительно него, разделит фигуру на две равные части.

Введем систему координат, приняв за единицу измерения сторону одной клетки. Расположим начало координат так, чтобы левый нижний угол фигуры имел координаты $(1, 1)$. Тогда вершины фигуры будут иметь координаты: $(1, 1)$, $(3, 1)$, $(3, 2)$, $(9, 2)$, $(9, 8)$, $(7, 8)$, $(7, 7)$, $(1, 7)$.

Центр симметрии фигуры будет совпадать с центром ее габаритного прямоугольника, который простирается от $x=1$ до $x=9$ и от $y=1$ до $y=8$. Координаты центра $P$ будут средними значениями координат границ:$x_c = (1+9)/2 = 5$$y_c = (1+8)/2 = 4,5$Таким образом, центр симметрии — точка $P(5; 4,5)$.

3. Проведем разрез. Разрез должен быть линией, которая сама симметрична относительно точки $P(5; 4,5)$. Такой разрез можно провести по линиям сетки. Соединим симметричные точки на границе фигуры, например, точку $(3, 2)$ и симметричную ей точку $(7, 7)$. Разрез будет состоять из следующих отрезков по линиям сетки:

• От точки $(3, 2)$ вправо до точки $(5, 2)$.
• От точки $(5, 2)$ вверх до точки $(5, 7)$.
• От точки $(5, 7)$ вправо до точки $(7, 7)$.

Этот разрез делит исходную фигуру на две части. Проверим их площади и конгруэнтность.

• Левая нижняя часть: ее вершины $(1, 1)$, $(3, 1)$, $(3, 2)$, $(5, 2)$, $(5, 7)$, $(1, 7)$. Ее площадь состоит из прямоугольника $4 \times 5 = 20$ клеток и примыкающего снизу прямоугольника $2 \times 1 = 2$ клетки. Итого: $20 + 2 = 22$ клетки.
• Правая верхняя часть: ее вершины $(5, 2)$, $(9, 2)$, $(9, 8)$, $(7, 8)$, $(7, 7)$, $(5, 7)$. Ее площадь состоит из прямоугольника $4 \times 5 = 20$ клеток и примыкающего сверху справа прямоугольника $2 \times 1 = 2$ клетки. Итого: $20 + 2 = 22$ клетки.

На рисунке ниже показан итоговый разрез.

Ответ:

Разрез нужно провести по ломаной линии, соединяющей по линиям сетки точку на границе с координатами $(3, 2)$ и точку с координатами $(7, 7)$ через точки $(5, 2)$ и $(5, 7)$ в предложенной системе координат. Этот разрез показан синей пунктирной линией на рисунке выше.