Страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Для заданных точек на координатной плоскости (рис. 25.6) найдите их координаты.

Рис. 25.6

Для определения координат каждой точки на плоскости необходимо найти ее значения по горизонтальной оси (ось абсцисс, $x$) и по вертикальной оси (ось ординат, $y$). Координаты записываются в виде пары чисел $(x; y)$.

Точка A

Чтобы найти координаты точки A, опустим из нее перпендикуляры на оси координат. Проекция точки A на ось $x$ (горизонтальная ось) находится в значении $1$. Проекция на ось $y$ (вертикальная ось) находится в значении $2$. Таким образом, абсцисса точки A равна $1$, а ордината равна $2$.

Ответ: $A(1; 2)$

Точка B

Найдем проекцию точки B на ось абсцисс. Она соответствует значению $2$. Проекция точки B на ось ординат соответствует значению $1$. Следовательно, координаты точки B – это $x=2$ и $y=1$.

Ответ: $B(2; 1)$

Точка C

Для точки C значение на оси $x$ равно $-1$, а значение на оси $y$ равно $2$. Таким образом, абсцисса точки C равна $-1$, а ордината равна $2$.

Ответ: $C(-1; 2)$

Точка D

Опустим перпендикуляры из точки D на оси. Перпендикуляр на ось $x$ попадает в точку $-3$. Перпендикуляр на ось $y$ попадает в точку $1$. Значит, координаты точки D равны $(-3; 1)$.

Ответ: $D(-3; 1)$

Точка E

Для точки E проекция на ось абсцисс ($x$) дает значение $-1$. Проекция на ось ординат ($y$) также дает значение $-1$. Таким образом, обе координаты точки E равны $-1$.

Ответ: $E(-1; -1)$

Точка F

Абсцисса точки F определяется ее проекцией на горизонтальную ось, что соответствует значению $-2$. Ордината точки F определяется ее проекцией на вертикальную ось, что соответствует значению $-3$.

Ответ: $F(-2; -3)$

Точка G

Найдем координаты точки G. Ее проекция на ось $x$ равна $1$. Ее проекция на ось $y$ равна $-3$. Следовательно, координаты точки G – это $(1; -3)$.

Ответ: $G(1; -3)$

Точка H

Для точки H значение на оси абсцисс ($x$) составляет $2$. Значение на оси ординат ($y$) составляет $-2$. Таким образом, координаты точки H равны $(2; -2)$.

Ответ: $H(2; -2)$

2. На координатной плоскости изобразите точки $A(2; 1)$, $B(1; 3)$, $C(4; 2)$, $D(-3; 2)$, $E(-2; -3)$, $F(3; -2)$.

Для того чтобы изобразить точки на координатной плоскости, необходимо для каждой точки с координатами $ (x; y) $ выполнить следующие действия:

1. Найти на горизонтальной оси (оси абсцисс Ox) значение, равное первой координате $x$.

2. Найти на вертикальной оси (оси ординат Oy) значение, равное второй координате $y$.

3. Провести мысленно или с помощью линейки две прямые, перпендикулярные осям, через эти значения. Одна прямая будет параллельна оси Oy, а другая — оси Ox.

4. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой на плоскости.

Рассмотрим построение каждой точки подробно:

A(2; 1): Чтобы найти эту точку, нужно от начала координат (точки $O(0; 0)$) сместиться на 2 единицы вправо по оси Ox, а затем на 1 единицу вверх параллельно оси Oy. Точка A находится в I координатной четверти.

B(1; 3): От начала координат смещаемся на 1 единицу вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх параллельно оси Oy. Точка B находится в I координатной четверти.

C(4; 2): От начала координат смещаемся на 4 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх параллельно оси Oy. Точка C находится в I координатной четверти.

D(-3; 2): От начала координат смещаемся на 3 единицы влево по оси Ox (поскольку координата $x$ отрицательна) и на 2 единицы вверх параллельно оси Oy. Точка D находится во II координатной четверти.

E(-2; -3): От начала координат смещаемся на 2 единицы влево по оси Ox и на 3 единицы вниз параллельно оси Oy (поскольку координата $y$ отрицательна). Точка E находится в III координатной четверти.

F(3; -2): От начала координат смещаемся на 3 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вниз параллельно оси Oy. Точка F находится в IV координатной четверти.

Ответ:

Изображение всех заданных точек на координатной плоскости представлено ниже:

3. На прямой, параллельной оси абсцисс, взяты две точки. У одной из них ордината равна $2$. Чему равна ордината другой точки?

Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$), является горизонтальной линией. Особенность такой прямой заключается в том, что все её точки имеют одинаковую ординату (координату $y$). Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это некоторое постоянное число.
По условию задачи, на такой прямой находятся две точки. У одной из них ордината равна 2. Это означает, что для этой точки, и, следовательно, для всей прямой, константа $c$ равна 2. Таким образом, уравнение нашей прямой — $y = 2$.
Поскольку вторая точка также лежит на этой прямой, её ордината должна удовлетворять уравнению прямой. Следовательно, ордината второй точки тоже равна 2.
Ответ: 2

4. На прямой, перпендикулярной оси абсцисс, взяты две точки.

У одной из них абсцисса равна 3. Чему равна абсцисса другой точки?

Ось абсцисс в декартовой системе координат — это горизонтальная ось $Ox$. Прямая, перпендикулярная оси абсцисс, является вертикальной линией.

Ключевое свойство любой вертикальной прямой заключается в том, что все точки, лежащие на ней, имеют одну и ту же абсциссу (координату $x$). Уравнение такой прямой можно записать в виде $x = c$, где $c$ — это постоянное значение абсциссы для всех точек этой прямой.

Согласно условию задачи, на такой прямой лежат две точки, и абсцисса одной из этих точек равна 3. Это означает, что данная вертикальная прямая проходит через точку, где координата $x$ равна 3. Следовательно, уравнение этой прямой — $x = 3$.

Поскольку вторая точка также принадлежит этой же прямой, ее абсцисса должна быть такой же, как и у всех остальных точек на этой прямой. Таким образом, абсцисса второй точки также равна 3.

Ответ: 3

5. Из точки $A(2; 3)$ опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите координаты основания перпендикуляра.

5. В декартовой системе координат точка $A$ имеет координаты $(x; y)$, где $x=2$ является абсциссой, а $y=3$ — ординатой. Ось абсцисс — это ось $Ox$. Все точки, лежащие на оси абсцисс, имеют ординату (координату $y$), равную нулю.
Перпендикуляр, опущенный из точки $A(2; 3)$ на ось абсцисс, представляет собой вертикальный отрезок. Все точки на этом отрезке имеют ту же абсциссу, что и точка $A$, то есть $x = 2$.
Основание перпендикуляра — это точка, в которой перпендикуляр пересекает ось абсцисс. Эта точка должна удовлетворять двум условиям:
1. Она должна иметь ту же абсциссу, что и точка $A$, то есть $x=2$.
2. Она должна лежать на оси абсцисс, то есть её ордината $y$ должна быть равна $0$.
Следовательно, координаты основания перпендикуляра равны $(2; 0)$.
Ответ: $(2; 0)$

6. Через точку $A(2; 3)$ проведена прямая, параллельная оси абсцисс.

Найдите координаты ее точки пересечения с осью ординат.

6. По условию задачи, дана точка $A(2; 3)$. Через эту точку проведена прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$). Прямая, параллельная оси абсцисс, является горизонтальной. У всех точек на такой прямой одинаковая ордината (координата $y$). Поскольку прямая проходит через точку $A(2; 3)$, то ордината для любой точки на этой прямой будет равна 3. Следовательно, уравнение этой прямой имеет вид $y = 3$.
Далее нам нужно найти точку пересечения этой прямой с осью ординат (осью $Oy$). Ось ординат — это множество всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) равна нулю.
Таким образом, чтобы найти искомую точку, мы должны найти точку, у которой $x=0$ и которая лежит на прямой $y=3$. Единственная точка, удовлетворяющая обоим условиям, имеет координаты $(0; 3)$.
Ответ: $(0; 3)$

7. Найдите координаты середины отрезка AB, если:

а) $A(1; -2)$, $B(5; 6);$

б) $A(-3; 4)$, $B(1; 2);$

в) $A(5; 7)$, $B(-3; -5).$

Чтобы найти координаты середины отрезка, нужно вычислить среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Если даны точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, то координаты середины $M(x_m; y_m)$ находятся по формулам: $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

а) Даны точки A(1; -2) и B(5; 6).
Найдем координату x середины отрезка:
$x_m = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Найдем координату y середины отрезка:
$y_m = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Координаты середины отрезка: (3; 2).
Ответ: (3; 2).

б) Даны точки A(-3; 4) и B(1; 2).
Найдем координату x середины отрезка:
$x_m = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Найдем координату y середины отрезка:
$y_m = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Координаты середины отрезка: (-1; 3).
Ответ: (-1; 3).

в) Даны точки A(5; 7) и B(-3; -5).
Найдем координату x середины отрезка:
$x_m = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Найдем координату y середины отрезка:
$y_m = \frac{7 + (-5)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Координаты середины отрезка: (1; 1).
Ответ: (1; 1).

8. Для данной системы координат на плоскости изобразите точки $A(1; 1)$ и $B(1; -1)$. Изобразите отрезок $AB$. Пересекает ли он какую-нибудь ось координат? Найдите координаты точек пересечения (если они есть).

Для того чтобы изобразить точки A(1; 1) и B(1; -1) на координатной плоскости, нужно для каждой точки определить ее положение относительно осей.
- Точка A(1; 1) имеет абсциссу $x=1$ и ординату $y=1$. Она находится в первой координатной четверти.
- Точка B(1; -1) имеет абсциссу $x=1$ и ординату $y=-1$. Она находится в четвертой координатной четверти.

Отрезок AB соединяет эти две точки. Поскольку абсциссы (координаты $x$) у обеих точек одинаковы и равны 1, отрезок AB является вертикальным отрезком, параллельным оси ординат (оси Oy). Уравнение прямой, на которой лежит этот отрезок, — $x=1$.

Далее определим, пересекает ли отрезок AB какую-либо из координатных осей.
1. Пересечение с осью ординат (осью Oy). Ось Oy задается уравнением $x=0$. Так как для всех точек отрезка AB координата $x=1$, а $1 \neq 0$, то отрезок AB не пересекает ось Oy.
2. Пересечение с осью абсцисс (осью Ox). Ось Ox задается уравнением $y=0$. Точка A(1; 1) лежит выше оси Ox (так как ее ордината $y=1>0$), а точка B(1; -1) лежит ниже оси Ox (так как ее ордината $y=-1<0$). Поскольку отрезок является непрерывной линией, соединяющей точки по разные стороны от оси Ox, он должен ее пересечь.
Таким образом, отрезок AB пересекает ось координат, а именно — ось абсцисс.

Теперь найдем координаты точки пересечения. Эта точка должна одновременно принадлежать отрезку AB и оси Ox.
- Любая точка, лежащая на отрезке AB, имеет координату $x=1$.
- Любая точка, лежащая на оси Ox, имеет координату $y=0$.
Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(1; 0)$. Убедимся, что эта точка принадлежит именно отрезку AB. Ординаты точек отрезка AB лежат в диапазоне от -1 до 1. Так как $-1 \le 0 \le 1$, точка с координатами $(1; 0)$ действительно находится на отрезке AB.

Ответ: Да, отрезок AB пересекает ось координат. Он пересекает ось абсцисс (Ox) в точке с координатами $(1; 0)$.

9. Изобразите геометрическое место точек на координатной плоскости, для которых:

а) $x \ge 0$;

б) $y < 0$;

в) $x \le 0, y \ge 0$;

г) $xy > 0$.

а) Геометрическое место точек, для которых выполняется условие $x \geq 0$, представляет собой правую полуплоскость. Это множество включает все точки, находящиеся справа от оси ординат ($Oy$), а также все точки на самой оси $Oy$. Границей этой области является прямая $x=0$ (ось $Oy$), которая включается в искомое множество, так как неравенство нестрогое. Иначе говоря, это первый и четвертый координатные квадранты вместе с осью $Oy$.
Ответ: Правая полуплоскость, включая ось $Oy$.

б) Условие $y < 0$ задает множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) отрицательна. Эти точки расположены под осью абсцисс ($Ox$). Поскольку неравенство строгое, сама ось $Ox$ (прямая $y=0$) не входит в это множество. Геометрически это нижняя открытая полуплоскость, которая состоит из всех точек третьего и четвертого координатных квадрантов, за исключением их общей границы — оси $Ox$.
Ответ: Нижняя полуплоскость, не включая ось $Ox$.

в) Здесь задана система из двух неравенств: $x \leq 0$ и $y \geq 0$. Первое неравенство, $x \leq 0$, задает левую замкнутую полуплоскость (включая ось $Oy$). Второе неравенство, $y \geq 0$, задает верхнюю замкнутую полуплоскость (включая ось $Ox$). Искомое геометрическое место точек является пересечением этих двух областей, что в точности соответствует второму координатному квадранту. Так как неравенства нестрогие, границы квадранта — отрицательная полуось $Ox$ и положительная полуось $Oy$ — принадлежат этому множеству.
Ответ: Второй координатный квадрант, включая его границы.

г) Неравенство $xy > 0$ выполняется тогда и только тогда, когда переменные $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. Это возможно в двух случаях:
1. $x > 0$ и $y > 0$. Это множество точек, расположенных в первом координатном квадранте.
2. $x < 0$ и $y < 0$. Это множество точек, расположенных в третьем координатном квадранте.
Поскольку неравенство строгое, точки, лежащие на координатных осях (где $x=0$ или $y=0$), решением не являются. Таким образом, искомое геометрическое место точек — это объединение открытого первого и открытого третьего координатных квадрантов.
Ответ: Объединение первого и третьего координатных квадрантов, исключая координатные оси.

10. Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: $(4; 0)$, $(3; 1,5)$, $(1; 2)$, $(-1; 2)$, $(-4; 0,5)$, $(-6; 2)$, $(-5,5; 0)$, $(-6; -2)$, $(-4; -0,5)$, $(-1; -2)$, $(1; -2)$, $(3; -1,5)$, $(4; 0)$. Кто изображен на рисунке?

Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (4; 0), (3; 1,5), (1; 2), (-1; 2), (-4; 0,5), (-6; 2), (-5,5; 0), (-6; -2), (-4; -0,5), (-1; -2), (1; -2), (3; -1,5), (4; 0)

Для построения ломаной необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить прямоугольную систему координат с осями $Ox$ (ось абсцисс) и $Oy$ (ось ординат).

2. Последовательно отметить на координатной плоскости точки с заданными координатами. Первая координата в скобках — это значение по оси $Ox$, а вторая — по оси $Oy$. Отметим точки в том порядке, в котором они даны: $A_1(4; 0)$, $A_2(3; 1,5)$, $A_3(1; 2)$, $A_4(-1; 2)$, $A_5(-4; 0,5)$, $A_6(-6; 2)$, $A_7(-5,5; 0)$, $A_8(-6; -2)$, $A_9(-4; -0,5)$, $A_{10}(-1; -2)$, $A_{11}(1; -2)$, $A_{12}(3; -1,5)$ и $A_{13}(4; 0)$.

3. Соединить отмеченные точки отрезками прямых линий в указанной последовательности. То есть, сначала соединяем точку $A_1$ с $A_2$, затем $A_2$ с $A_3$, и так далее до последнего отрезка, соединяющего $A_{12}$ с $A_{13}$.

Так как координаты начальной точки $A_1(4; 0)$ и конечной точки $A_{13}(4; 0)$ совпадают, построенная ломаная линия является замкнутой.

Ответ: Построение точек в указанной последовательности и их соединение отрезками создает на координатной плоскости замкнутую ломаную линию.

Кто изображен на рисунке?

После соединения всех точек на плоскости образуется фигура. Если внимательно проанализировать ее форму и расположение вершин, можно заметить, что фигура симметрична относительно оси абсцисс ($Ox$). Это видно из того, что для каждой точки с координатами $(x; y)$ (кроме точек, лежащих на оси $Ox$) в списке есть симметричная ей точка с координатами $(x; -y)$. Например, для точки $(3; 1,5)$ есть точка $(3; -1,5)$, для точки $(1; 2)$ есть точка $(1; -2)$, для точки $(-4; 0,5)$ есть точка $(-4; -0,5)$, и так далее.

Фигура имеет две пары "крыльев", расположенных по обе стороны от оси ординат, и узкую центральную часть. Такой характерный силуэт позволяет легко узнать изображенный объект.

Ответ: На рисунке изображена бабочка.