Страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Каким уравнением задается прямая на плоскости?

2. Что называется угловым коэффициентом прямой?

3. Какой вид имеет уравнение прямой в общем случае?

4. Какие уравнения задают одну и ту же прямую?

5. Какие уравнения задают параллельные прямые?

6. Какие уравнения задают пересекающиеся прямые?

7. Какие уравнения задают перпендикулярные прямые?

1. Каким уравнением задается прямая на плоскости?

Прямая на плоскости в декартовой системе координат задается линейным уравнением с двумя переменными, $x$ и $y$. Это означает, что переменные входят в уравнение в первой степени. Существует несколько стандартных форм записи этого уравнения, наиболее распространенные из которых:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: $y = kx + b$. Здесь $k$ – это угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси $OX$), а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью $OY$. Эта форма удобна для построения графика, но не может описывать вертикальные прямые.

Общее уравнение прямой: $ax + by + c = 0$. Здесь $a$, $b$, $c$ – некоторые действительные числа, причем хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не должно быть равно нулю ($a^2 + b^2 \neq 0$). Эта форма является универсальной, так как позволяет описать любую прямую на плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

Ответ: Прямая на плоскости задается линейным уравнением с двумя переменными, например, в общем виде $ax + by + c = 0$ или в виде уравнения с угловым коэффициентом $y = kx + b$.

2. Что называется угловым коэффициентом прямой?

Угловым коэффициентом прямой (часто обозначается буквой $k$) называется тангенс угла $\alpha$, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс ($OX$). Угол $\alpha$ измеряется от положительного направления оси $OX$ к прямой против часовой стрелки.

Математически это записывается как $k = \tan(\alpha)$.

В уравнении прямой вида $y = kx + b$ число $k$ и является угловым коэффициентом. Геометрически угловой коэффициент характеризует наклон прямой:

• Если $k > 0$, прямая "возрастает" (образует острый угол с осью $OX$).

• Если $k < 0$, прямая "убывает" (образует тупой угол с осью $OX$).

• Если $k = 0$, прямая горизонтальна (параллельна оси $OX$).

• Для вертикальных прямых (параллельных оси $OY$) угловой коэффициент не определен, так как угол наклона равен $90^\circ$, а $\tan(90^\circ)$ не существует.

Ответ: Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла ее наклона к положительному направлению оси абсцисс ($k = \tan(\alpha)$). В уравнении $y=kx+b$ это коэффициент $k$.

3. Какой вид имеет уравнение прямой в общем случае?

В общем случае уравнение прямой на плоскости имеет вид:

$ax + by + c = 0$

где $x$ и $y$ – координаты любой точки на прямой, а $a$, $b$ и $c$ – постоянные коэффициенты. Обязательным условием является то, что хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю, что математически записывается как $a^2 + b^2 \neq 0$. Если бы оба коэффициента $a$ и $b$ были равны нулю, уравнение превратилось бы в $c=0$, что не задает прямую.

Эта форма называется общим уравнением прямой, так как она может описать любую прямую на плоскости без исключений, включая вертикальные прямые (при $b=0$) и горизонтальные (при $a=0$).

Ответ: Общее уравнение прямой имеет вид $ax + by + c = 0$, где $a, b, c$ – константы, причем $a$ и $b$ одновременно не равны нулю.

4. Какие уравнения задают одну и ту же прямую?

Два уравнения задают одну и ту же прямую (т.е. прямые совпадают), если множества их решений идентичны. Это происходит, когда одно уравнение можно получить из другого умножением на некоторое ненулевое число $\lambda$.

Для двух прямых, заданных общими уравнениями $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$, они задают одну и ту же прямую тогда и только тогда, когда их коэффициенты пропорциональны:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

(Это соотношение подразумевает, что если один из знаменателей равен нулю, то и соответствующий числитель тоже равен нулю).

Для прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, они совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$.

Ответ: Уравнения задают одну и ту же прямую, если их соответствующие коэффициенты пропорциональны. Например, для $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ должно выполняться $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

5. Какие уравнения задают параллельные прямые?

Две различные прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Условие параллельности зависит от формы уравнения.

Для прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, они параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а ординаты точек пересечения с осью OY — различны:

$k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.

Для прямых, заданных общими уравнениями $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$, они параллельны, если коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Это означает, что их нормальные векторы $\vec{n_1}=(a_1,b_1)$ и $\vec{n_2}=(a_2,b_2)$ коллинеарны, но сами прямые не совпадают.

Ответ: Уравнения задают параллельные прямые, если в форме $y=kx+b$ у них $k_1=k_2$ и $b_1 \neq b_2$, а в общем виде $ax+by+c=0$ выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

6. Какие уравнения задают пересекающиеся прямые?

Две прямые на плоскости пересекаются, если они имеют ровно одну общую точку. Это происходит, если они не параллельны.

Для прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, они пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны:

$k_1 \neq k_2$.

Для прямых, заданных общими уравнениями $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$, они пересекаются, если их коэффициенты при переменных $x$ и $y$ не пропорциональны:

$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

Это условие эквивалентно тому, что определитель системы, составленной из коэффициентов при переменных, не равен нулю: $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$.

Ответ: Уравнения задают пересекающиеся прямые, если в форме $y=kx+b$ у них $k_1 \neq k_2$, а в общем виде $ax+by+c=0$ выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

7. Какие уравнения задают перпендикулярные прямые?

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними составляет $90^\circ$.

Для прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, они перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1:

$k_1 \cdot k_2 = -1$ или $k_2 = -\frac{1}{k_1}$.

Это условие не охватывает случай, когда одна прямая горизонтальна ($k_1=0$), а другая вертикальна (k_2 не определен).

Более универсальное условие перпендикулярности формулируется для прямых в общем виде $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$. Они перпендикулярны, если скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1}=(a_1,b_1)$ и $\vec{n_2}=(a_2,b_2)$ равно нулю:

$a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.

Это условие справедливо для любых прямых, включая горизонтальные и вертикальные.

Ответ: Уравнения задают перпендикулярные прямые, если в форме $y=kx+b$ произведение их угловых коэффициентов $k_1 \cdot k_2 = -1$, а в общем виде $ax+by+c=0$ выполняется условие $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.

1. Какие уравнения имеют координатные прямые:

а) $Ox$

б) $Oy$

а) Ox
Координатная прямая Ox, также известная как ось абсцисс, является горизонтальной осью в декартовой системе координат. Каждая точка, которая лежит на этой оси, имеет свою уникальную координату $x$, но ее координата $y$ (ордината) всегда равна нулю. Например, точки с координатами $(-5, 0)$, $(1, 0)$, $(10, 0)$ все лежат на оси Ox. Таким образом, условие, которое определяет принадлежность любой точки $(x, y)$ к оси Ox, заключается в том, что ее вторая координата должна быть равна нулю. Это условие и записывается в виде уравнения.
Ответ: $y = 0$

б) Oy
Координатная прямая Oy, также известная как ось ординат, является вертикальной осью в декартовой системе координат. Каждая точка, которая лежит на этой оси, имеет свою уникальную координату $y$, но ее координата $x$ (абсцисса) всегда равна нулю. Например, точки с координатами $(0, -2)$, $(0, 3)$, $(0, 7)$ все лежат на оси Oy. Таким образом, условие, которое определяет принадлежность любой точки $(x, y)$ к оси Oy, заключается в том, что ее первая координата должна быть равна нулю. Это условие записывается в виде уравнения.
Ответ: $x = 0$

2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A(1; 2) и параллельную оси:
a) $Ox$;
б) $Oy$.

а) Ox;
Прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), является горизонтальной. Все точки на такой прямой имеют одинаковую ординату (координату $y$). Уравнение горизонтальной прямой имеет общий вид $y = c$, где $c$ — это постоянное значение ординаты.
Так как искомая прямая проходит через точку $A(1; 2)$, ее ордината должна быть равна ординате точки $A$, то есть $y = 2$.
Таким образом, для любой точки $(x, y)$ на этой прямой координата $y$ всегда будет равна 2.
Ответ: $y = 2$.

б) Oy;
Прямая, параллельная оси ординат (оси Oy), является вертикальной. Все точки на такой прямой имеют одинаковую абсциссу (координату $x$). Уравнение вертикальной прямой имеет общий вид $x = c$, где $c$ — это постоянное значение абсциссы.
Так как искомая прямая проходит через точку $A(1; 2)$, ее абсцисса должна быть равна абсциссе точки $A$, то есть $x = 1$.
Таким образом, для любой точки $(x, y)$ на этой прямой координата $x$ всегда будет равна 1.
Ответ: $x = 1$.

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(2; 3)$ и перпендикулярную оси:

а) $Ox$;

б) $Oy$.

а) Ox;

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку A(2; 3) и перпендикулярной оси Ox (оси абсцисс), нужно учесть следующее:

1. Ось Ox является горизонтальной прямой, все точки которой имеют координату $y = 0$.

2. Прямая, перпендикулярная горизонтальной прямой, всегда является вертикальной.

3. Уравнение любой вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — это постоянная абсцисса (координата x) для всех точек, лежащих на этой прямой.

4. Поскольку искомая прямая должна проходить через точку A с координатами (2; 3), то абсцисса каждой точки на этой прямой должна быть равна абсциссе точки A, то есть 2.

Таким образом, $c = 2$, и уравнение прямой имеет вид $x = 2$.

Ответ: $x = 2$

б) Oy.

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку A(2; 3) и перпендикулярной оси Oy (оси ординат), нужно учесть следующее:

1. Ось Oy является вертикальной прямой, все точки которой имеют координату $x = 0$.

2. Прямая, перпендикулярная вертикальной прямой, всегда является горизонтальной.

3. Уравнение любой горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это постоянная ордината (координата y) для всех точек, лежащих на этой прямой.

4. Поскольку искомая прямая должна проходить через точку A с координатами (2; 3), то ордината каждой точки на этой прямой должна быть равна ординате точки A, то есть 3.

Таким образом, $c = 3$, и уравнение прямой имеет вид $y = 3$.

Ответ: $y = 3$

4. Найдите угловые коэффициенты прямых, изображенных на рисунке 27.8.

Рис. 27.8

Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона) прямой, заданной уравнением $y = kx + b$, можно найти по формуле $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, где $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ — это координаты двух любых различных точек на этой прямой.

Для нахождения угловых коэффициентов прямых, изображенных на рисунке, определим координаты двух точек для каждой прямой, используя узлы координатной сетки. Примем, что точка O — это начало координат (0,0), а шаг сетки равен 1.

Все прямые a, b, c и d пересекаются в одной точке P. Найдем ее координаты: от начала координат O нужно сместиться на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх. Таким образом, точка P имеет координаты $(-1, 2)$. Будем использовать эту точку как первую для всех вычислений.

Прямая a

Прямая $a$ проходит через точку $P(-1, 2)$. Найдем на прямой $a$ вторую точку, которая лежит точно на пересечении линий сетки. Например, это точка с координатами $(0, 4)$.

Теперь можем вычислить угловой коэффициент $k_a$:

$k_a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{0 - (-1)} = \frac{2}{1} = 2$

Ответ: 2.

Прямая b

Прямая $b$ проходит через точку $P(-1, 2)$. В качестве второй точки выберем точку с координатами $(3, 4)$.

Вычислим угловой коэффициент $k_b$:

$k_b = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{3 - (-1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Прямая c

Прямая $c$ проходит через точку $P(-1, 2)$. В качестве второй точки выберем точку на оси абсцисс с координатами $(1, 0)$.

Вычислим угловой коэффициент $k_c$:

$k_c = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{1 - (-1)} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: -1.

Прямая d

Прямая $d$ проходит через точку $P(-1, 2)$. В качестве второй точки выберем точку с координатами $(0, -1)$.

Вычислим угловой коэффициент $k_d$:

$k_d = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 2}{0 - (-1)} = \frac{-3}{1} = -3$

Ответ: -3.

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом:

a) $k = 1$;

б) $k = 2$;

в) $k = \frac{1}{2}$;

г) $k = -1$;

д) $k = -2$;

е) $k = -\frac{1}{2}$.

Изобразите эти прямые.

Общее уравнение прямой с угловым коэффициентом $k$ имеет вид $y = kx + b$, где $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

По условию задачи, все прямые проходят через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Подставив эти координаты в общее уравнение, получим: $0 = k \cdot 0 + b$, откуда следует, что $b = 0$.

Таким образом, уравнение для всех искомых прямых имеет вид $y = kx$.

Теперь найдём уравнение для каждого конкретного значения $k$.

а) $k = 1$;

Подставляем значение $k=1$ в общую формулу $y = kx$. Получаем уравнение $y = 1 \cdot x$, что равносильно $y=x$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Для её построения, кроме начала координат $(0,0)$, можно взять, например, точку $(1,1)$.

Ответ: $y = x$

б) $k = 2$;

Подставляем значение $k=2$ в формулу $y = kx$. Получаем $y=2x$. Эта прямая также проходит через первый и третий координатные углы, но идёт "круче", чем $y=x$, так как при том же изменении $x$ изменение $y$ в два раза больше. Для построения можно взять точку $(1,2)$.

Ответ: $y = 2x$

в) $k = \frac{1}{2}$;

Подставляем значение $k=\frac{1}{2}$ в формулу $y = kx$. Получаем $y=\frac{1}{2}x$. Эта прямая проходит через первый и третий координатные углы, но является более "пологой", чем $y=x$. Для построения удобно взять точку с чётной абсциссой, например, $(2,1)$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x$

г) $k = -1$;

Подставляем значение $k=-1$ в формулу $y = kx$. Получаем $y=-x$. Эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Для её построения можно взять точку $(1,-1)$.

Ответ: $y = -x$

д) $k = -2$;

Подставляем значение $k=-2$ в формулу $y = kx$. Получаем $y=-2x$. Прямая проходит через второй и четвертый координатные углы. Она убывает "круче", чем $y=-x$. Для построения можно взять точку $(1,-2)$.

Ответ: $y = -2x$

е) $k = -\frac{1}{2}$.

Подставляем значение $k=-\frac{1}{2}$ в формулу $y = kx$. Получаем $y=-\frac{1}{2}x$. Прямая проходит через второй и четвертый координатные углы, но убывает более "полого", чем $y=-x$. Для построения удобно взять точку $(2,-1)$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x$

Изображение этих прямых:

Все прямые являются графиками функции прямой пропорциональности $y=kx$ и проходят через начало координат $(0, 0)$. Угловой коэффициент $k$ определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$.

Свойство 1: Если $k > 0$, прямая расположена в I и III координатных четвертях (возрастает).

Свойство 2: Если $k < 0$, прямая расположена во II и IV координатных четвертях (убывает).

Свойство 3: Чем больше абсолютное значение $|k|$, тем "круче" идёт прямая, то есть она расположена ближе к оси $Oy$.

6. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A(2; -1) с угловым коэффициентом: а) $k = 1$; б) $k = 2$; в) $k = \frac{1}{2}$; г) $k = -1$; д) $k = -2$; е) $k = -\frac{1}{2}$. Изобразите эти прямые.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку $A(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$, используется формула уравнения прямой с угловым коэффициентом: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

В нашем случае, точка $A(2; -1)$, следовательно, $x_0 = 2$ и $y_0 = -1$. Подставим эти значения в формулу: $y - (-1) = k(x - 2)$, что равносильно $y + 1 = k(x - 2)$.

Теперь найдем уравнение для каждого значения $k$.

а) Для $k=1$:
Подставляем $k=1$ в уравнение $y + 1 = k(x - 2)$:
$y + 1 = 1 \cdot (x - 2)$
$y + 1 = x - 2$
$y = x - 2 - 1$
Ответ: $y = x - 3$.

б) Для $k=2$:
Подставляем $k=2$ в уравнение:
$y + 1 = 2 \cdot (x - 2)$
$y + 1 = 2x - 4$
$y = 2x - 4 - 1$
Ответ: $y = 2x - 5$.

в) Для $k=\frac{1}{2}$:
Подставляем $k=\frac{1}{2}$ в уравнение:
$y + 1 = \frac{1}{2}(x - 2)$
$y + 1 = \frac{1}{2}x - 1$
$y = \frac{1}{2}x - 1 - 1$
Ответ: $y = \frac{1}{2}x - 2$.

г) Для $k=-1$:
Подставляем $k=-1$ в уравнение:
$y + 1 = -1 \cdot (x - 2)$
$y + 1 = -x + 2$
$y = -x + 2 - 1$
Ответ: $y = -x + 1$.

д) Для $k=-2$:
Подставляем $k=-2$ в уравнение:
$y + 1 = -2(x - 2)$
$y + 1 = -2x + 4$
$y = -2x + 4 - 1$
Ответ: $y = -2x + 3$.

е) Для $k=-\frac{1}{2}$:
Подставляем $k=-\frac{1}{2}$ в уравнение:
$y + 1 = -\frac{1}{2}(x - 2)$
$y + 1 = -\frac{1}{2}x + 1$
$y = -\frac{1}{2}x + 1 - 1$
Ответ: $y = -\frac{1}{2}x$.

Изображение прямых:

Все прямые проходят через точку $A(2; -1)$. На графике ниже показаны все шесть прямых.

7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки:
a) $A_1(1; 2)$, $A_2(3; 2);$
б) $A_1(1; 2)$, $A_2(2; 3);$
в) $A_1(1; 2)$, $A_2(2; 1).$

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Это уравнение можно преобразовать к общему виду $Ax + By + C = 0$ или к виду уравнения с угловым коэффициентом $y = kx + b$.

а) Даны точки $A_1(1; 2)$ и $A_2(3; 2)$.

В этом случае $x_1 = 1, y_1 = 2$ и $x_2 = 3, y_2 = 2$.

Поскольку ординаты (координаты $y$) обеих точек одинаковы ($y_1 = y_2 = 2$), прямая является горизонтальной, то есть параллельной оси абсцисс. Ее уравнение имеет вид $y = c$, где $c$ – это постоянное значение ординаты.

Таким образом, уравнение искомой прямой: $y = 2$.

Если подставить значения в каноническое уравнение, мы получим:

$\frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - 2}{2 - 2}$

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{0}$

Знаменатель второй дроби равен нулю, что указывает на особый случай. Такое равенство (рассматриваемое как пропорция) означает, что числитель второй дроби должен быть равен нулю, чтобы равенство имело смысл (или, формально, $(x-1) \cdot 0 = (y-2) \cdot 2$). Отсюда получаем:

$y - 2 = 0$

$y = 2$

Ответ: $y = 2$.

б) Даны точки $A_1(1; 2)$ и $A_2(2; 3)$.

Здесь $x_1 = 1, y_1 = 2$ и $x_2 = 2, y_2 = 3$.

Подставим координаты точек в каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y - 2}{3 - 2}$

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1}$

Упростим полученное выражение:

$x - 1 = y - 2$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:

$y = x - 1 + 2$

$y = x + 1$

Ответ: $y = x + 1$.

в) Даны точки $A_1(1; 2)$ и $A_2(2; 1)$.

Здесь $x_1 = 1, y_1 = 2$ и $x_2 = 2, y_2 = 1$.

Подставим координаты точек в каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y - 2}{1 - 2}$

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1}$

Упростим полученное выражение, используя свойство пропорции:

$-1 \cdot (x - 1) = 1 \cdot (y - 2)$

$-x + 1 = y - 2$

Выразим $y$ через $x$:

$y = -x + 1 + 2$

$y = -x + 3$

Ответ: $y = -x + 3$.

8. Изобразите прямую, заданную уравнением:

а) $y = x$;

б) $y = 2x + 1$;

в) $y = 1 - x$;

г) $y = -1 - x$.

a) $y = x$
Для того чтобы изобразить (построить) прямую на координатной плоскости, достаточно найти координаты двух любых точек, которые удовлетворяют ее уравнению.
1. Найдем первую точку. Возьмем произвольное значение $x$, например, $x=0$. Подставим его в уравнение функции: $y=0$. Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 0)$.
2. Найдем вторую точку. Возьмем другое значение $x$, например, $x=1$. Подставим его в уравнение: $y=1$. Вторая точка имеет координаты $(1, 1)$.
3. Отметим на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$ и проведем через них прямую линию. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.
Ответ: График функции $y = x$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

б) $y = 2x + 1$
Найдем две точки для построения графика данной линейной функции.
1. При $x=0$, значение $y$ будет равно: $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$. Эта точка является точкой пересечения прямой с осью ординат ($Oy$).
2. При $x=1$, значение $y$ будет равно: $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получаем точку $(1, 3)$.
3. Отметим точки $(0, 1)$ и $(1, 3)$ на координатной плоскости и соединим их прямой линией.
Ответ: График функции $y = 2x + 1$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0, 1)$ и $(1, 3)$.

в) $y = 1 - x$
Для построения этой прямой удобно найти ее точки пересечения с осями координат.
1. Найдем точку пересечения с осью $Oy$. Для этого положим $x=0$: $y = 1 - 0 = 1$. Получили точку $(0, 1)$.
2. Найдем точку пересечения с осью $Ox$. Для этого положим $y=0$: $0 = 1 - x$, из чего следует, что $x = 1$. Получили точку $(1, 0)$.
3. Отметим на координатной плоскости точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$ и проведем через них прямую.
Ответ: График функции $y = 1 - x$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

г) $y = -1 - x$
Аналогично предыдущему пункту, найдем точки пересечения с осями координат.
1. При $x=0$, $y = -1 - 0 = -1$. Получили точку $(0, -1)$ (пересечение с осью $Oy$).
2. При $y=0$, $0 = -1 - x$, из чего следует, что $x = -1$. Получили точку $(-1, 0)$ (пересечение с осью $Ox$).
3. Отметим на координатной плоскости точки $(0, -1)$ и $(-1, 0)$ и проведем через них прямую.
Ответ: График функции $y = -1 - x$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0, -1)$ и $(-1, 0)$.

9. Изобразите прямую, заданную уравнением:

а) $x + y = 1$;

б) $x + y = 0$;

в) $x - y = 1$;

г) $x - y = 0$.

Для того чтобы изобразить (построить график) прямой, заданной уравнением, необходимо найти координаты как минимум двух точек, удовлетворяющих этому уравнению. После этого нужно отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их прямой линией.

а) Для уравнения $x + y = 1$ найдем две точки. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат.
1. Найдем точку пересечения с осью ординат ($OY$). Для этого примем значение $x$ равным нулю:
$0 + y = 1 \implies y = 1$.
Первая точка имеет координаты $(0; 1)$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($OX$). Для этого примем значение $y$ равным нулю:
$x + 0 = 1 \implies x = 1$.
Вторая точка имеет координаты $(1; 0)$.
Изображение прямой — это линия, проведенная на координатной плоскости через точки $(0; 1)$ и $(1; 0)$.
Ответ: Прямая, проходящая через точки с координатами $(0; 1)$ и $(1; 0)$.

б) Для уравнения $x + y = 0$ преобразуем его, выразив $y$ через $x$: $y = -x$.
Это уравнение прямой пропорциональности, ее график всегда проходит через начало координат.
1. Первая точка — это начало координат $(0; 0)$.
2. Найдем вторую точку, выбрав произвольное ненулевое значение для $x$. Пусть $x = 1$:
$y = -1$.
Вторая точка имеет координаты $(1; -1)$.
Изображение прямой — это линия, проведенная на координатной плоскости через точки $(0; 0)$ и $(1; -1)$. Эта прямая является биссектрисой II и IV координатных четвертей.
Ответ: Прямая, проходящая через начало координат и точку с координатами $(1; -1)$.

в) Для уравнения $x - y = 1$ найдем две точки, лежащие на данной прямой, определив точки пересечения с осями.
1. При $x = 0$:
$0 - y = 1 \implies y = -1$.
Первая точка имеет координаты $(0; -1)$.
2. При $y = 0$:
$x - 0 = 1 \implies x = 1$.
Вторая точка имеет координаты $(1; 0)$.
Изображение прямой — это линия, проведенная на координатной плоскости через точки $(0; -1)$ и $(1; 0)$.
Ответ: Прямая, проходящая через точки с координатами $(0; -1)$ и $(1; 0)$.

г) Для уравнения $x - y = 0$ преобразуем его, выразив $y$ через $x$: $y = x$.
Это уравнение прямой пропорциональности, ее график проходит через начало координат.
1. Первая точка — $(0; 0)$.
2. Найдем вторую точку, выбрав произвольное ненулевое значение для $x$. Пусть $x = 1$:
$y = 1$.
Вторая точка имеет координаты $(1; 1)$.
Изображение прямой — это линия, проведенная на координатной плоскости через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$. Эта прямая является биссектрисой I и III координатных четвертей.
Ответ: Прямая, проходящая через начало координат и точку с координатами $(1; 1)$.