Номер 7, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки:
a) $A_1(1; 2)$, $A_2(3; 2);$
б) $A_1(1; 2)$, $A_2(2; 3);$
в) $A_1(1; 2)$, $A_2(2; 1).$

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Это уравнение можно преобразовать к общему виду $Ax + By + C = 0$ или к виду уравнения с угловым коэффициентом $y = kx + b$.

а) Даны точки $A_1(1; 2)$ и $A_2(3; 2)$.

В этом случае $x_1 = 1, y_1 = 2$ и $x_2 = 3, y_2 = 2$.

Поскольку ординаты (координаты $y$) обеих точек одинаковы ($y_1 = y_2 = 2$), прямая является горизонтальной, то есть параллельной оси абсцисс. Ее уравнение имеет вид $y = c$, где $c$ – это постоянное значение ординаты.

Таким образом, уравнение искомой прямой: $y = 2$.

Если подставить значения в каноническое уравнение, мы получим:

$\frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - 2}{2 - 2}$

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{0}$

Знаменатель второй дроби равен нулю, что указывает на особый случай. Такое равенство (рассматриваемое как пропорция) означает, что числитель второй дроби должен быть равен нулю, чтобы равенство имело смысл (или, формально, $(x-1) \cdot 0 = (y-2) \cdot 2$). Отсюда получаем:

$y - 2 = 0$

$y = 2$

Ответ: $y = 2$.

б) Даны точки $A_1(1; 2)$ и $A_2(2; 3)$.

Здесь $x_1 = 1, y_1 = 2$ и $x_2 = 2, y_2 = 3$.

Подставим координаты точек в каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y - 2}{3 - 2}$

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1}$

Упростим полученное выражение:

$x - 1 = y - 2$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:

$y = x - 1 + 2$

$y = x + 1$

Ответ: $y = x + 1$.

в) Даны точки $A_1(1; 2)$ и $A_2(2; 1)$.

Здесь $x_1 = 1, y_1 = 2$ и $x_2 = 2, y_2 = 1$.

Подставим координаты точек в каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y - 2}{1 - 2}$

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1}$

Упростим полученное выражение, используя свойство пропорции:

$-1 \cdot (x - 1) = 1 \cdot (y - 2)$

$-x + 1 = y - 2$

Выразим $y$ через $x$:

$y = -x + 1 + 2$

$y = -x + 3$

Ответ: $y = -x + 3$.