Номер 12, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых:

a) параллельны;

б) перпендикулярны:

1) $x + y - 2 = 0, x + y + 3 = 0;$

2) $x + y - 2 = 0, x - y - 3 = 0;$

3) $-7x + y = 0, 7x - y + 4 = 0;$

4) $4x - 2y - 8 = 0, -x - 2y + 4 = 0.$

Для определения взаимного расположения двух прямых, заданных общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, используются следующие условия:

1. Условие параллельности: Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Для прямых, заданных общими уравнениями, это условие означает, что коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, а свободные члены не подчиняются этой пропорции: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$. Если все три отношения равны, то прямые совпадают.

2. Условие перпендикулярности: Прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно $-1$. Для общих уравнений это условие эквивалентно тому, что скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ равно нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Проанализируем каждую пару прямых в соответствии с этими условиями.

Проверим каждую пару на выполнение условия параллельности $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

1) $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$.

Коэффициенты для первой прямой: $A_1 = 1, B_1 = 1, C_1 = -2$.

Коэффициенты для второй прямой: $A_2 = 1, B_2 = 1, C_2 = 3$.

Проверяем отношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-2}{3}$.

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые параллельны.

2) $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = 1, B_1 = 1$ и $A_2 = 1, B_2 = -1$.

Проверяем отношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-1} = -1$.

Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, прямые не параллельны.

3) $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = -7, B_1 = 1, C_1 = 0$ и $A_2 = 7, B_2 = -1, C_2 = 4$.

Проверяем отношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{-7}{7} = -1$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-1} = -1$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{0}{4} = 0$.

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые параллельны.

4) $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = 4, B_1 = -2$ и $A_2 = -1, B_2 = -2$.

Проверяем отношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{-1} = -4$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-2}{-2} = 1$.

Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, прямые не параллельны.

Ответ: 1, 3.

Проверим каждую пару на выполнение условия перпендикулярности $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

1) $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = 1, B_1 = 1$ и $A_2 = 1, B_2 = 1$.

Проверка: $A_1A_2 + B_1B_2 = (1)(1) + (1)(1) = 1 + 1 = 2$. Так как $2 \neq 0$, прямые не перпендикулярны.

2) $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = 1, B_1 = 1$ и $A_2 = 1, B_2 = -1$.

Проверка: $A_1A_2 + B_1B_2 = (1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 = 0$. Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

3) $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = -7, B_1 = 1$ и $A_2 = 7, B_2 = -1$.

Проверка: $A_1A_2 + B_1B_2 = (-7)(7) + (1)(-1) = -49 - 1 = -50$. Так как $-50 \neq 0$, прямые не перпендикулярны.

4) $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = 4, B_1 = -2$ и $A_2 = -1, B_2 = -2$.

Проверка: $A_1A_2 + B_1B_2 = (4)(-1) + (-2)(-2) = -4 + 4 = 0$. Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: 2, 4.