Номер 16, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A(0; 1) и перпендикулярную прямой:

а) $y = x$;

б) $y = 2x$.

Общий вид уравнения прямой — это $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения с осью $OY$).Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ являются перпендикулярными, если произведение их угловых коэффициентов равно -1, то есть $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Искомая прямая должна проходить через точку $A(0; 1)$. Поскольку абсцисса (координата $x$) этой точки равна нулю, это означает, что прямая пересекает ось ординат ($OY$) в точке $y=1$. Следовательно, свободный член $b$ для искомой прямой равен 1.Таким образом, уравнение искомой прямой в обоих случаях будет иметь вид $y = kx + 1$. Нам нужно лишь определить угловой коэффициент $k$ для каждого случая.

а) Найти уравнение прямой, проходящей через $A(0; 1)$ и перпендикулярной прямой $y = x$.

1. Угловой коэффициент данной прямой $y = x$ равен $k_1 = 1$.

2. Найдем угловой коэффициент $k_2$ искомой перпендикулярной прямой. Из условия перпендикулярности $k_1 \cdot k_2 = -1$ имеем:$1 \cdot k_2 = -1$$k_2 = -1$

3. Подставим найденный угловой коэффициент $k_2 = -1$ и известный свободный член $b=1$ в общее уравнение прямой $y = kx + b$.Получаем уравнение: $y = -1 \cdot x + 1$.

Ответ: $y = -x + 1$

б) Найти уравнение прямой, проходящей через $A(0; 1)$ и перпендикулярной прямой $y = 2x$.

1. Угловой коэффициент данной прямой $y = 2x$ равен $k_1 = 2$.

2. Найдем угловой коэффициент $k_2$ искомой перпендикулярной прямой. Из условия перпендикулярности $k_1 \cdot k_2 = -1$ имеем:$2 \cdot k_2 = -1$$k_2 = -\frac{1}{2}$

3. Подставим найденный угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$ и известный свободный член $b=1$ в общее уравнение прямой $y = kx + b$.Получаем уравнение: $y = -\frac{1}{2}x + 1$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + 1$