Номер 3, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Две полуплоскости задаются неравенствами: $a_1 x + b_1 y + c_1 \ge 0, a_2 x + b_2 y + c_2 \ge 0.$

Как будет задаваться пересечение этих полуплоскостей?

Каждое из неравенств, $a_1x + b_1y + c_1 \ge 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 \ge 0$, задает на координатной плоскости множество точек, называемое замкнутой полуплоскостью. Границей каждой такой полуплоскости является прямая, уравнение которой получается заменой знака неравенства на знак равенства (например, $a_1x + b_1y + c_1 = 0$).

Пересечение двух множеств — это новое множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат каждому из исходных множеств одновременно. В данном случае, мы ищем пересечение двух полуплоскостей. Это означает, что нам нужно найти все точки $(x, y)$, которые принадлежат как первой полуплоскости, так и второй.

Для того чтобы точка с координатами $(x, y)$ принадлежала пересечению, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлетворяли обоим неравенствам одновременно. В математике требование одновременного выполнения нескольких условий записывается в виде системы.

Геометрически такое пересечение может образовывать различные фигуры (например, угол, полосу, другую полуплоскость или быть пустым множеством), но аналитически оно всегда задается системой исходных неравенств.

Ответ: Пересечение этих полуплоскостей задается системой неравенств, так как точки, принадлежащие пересечению, должны удовлетворять обоим условиям одновременно:
$ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 \ge 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 \ge 0 \end{cases} $