Номер 2, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Изобразите геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

a) $0 \le x \le 3, 0 \le y \le 3;$

б) $x \ge 0, y \ge 0, x + y \le 3.$

а)

Система неравенств $0 \le x \le 3$ и $0 \le y \le 3$ задает на координатной плоскости замкнутую область. Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

Неравенство $0 \le x \le 3$ означает, что абсцисса $x$ любой точки искомого множества должна быть не меньше 0 и не больше 3. Геометрически это вертикальная полоса, ограниченная прямыми $x=0$ (ось OY) и $x=3$. Так как неравенства нестрогие, то сами прямые входят в эту область.

Аналогично, неравенство $0 \le y \le 3$ означает, что ордината $y$ любой точки должна быть не меньше 0 и не больше 3. Геометрически это горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y=0$ (ось OX) и $y=3$. Сами прямые также входят в эту область.

Геометрическое место точек, удовлетворяющих обоим условиям, является пересечением этих двух полос. Пересечение вертикальной и горизонтальной полос образует прямоугольник. В данном случае, так как ширина и высота полос одинаковы (равны 3), это будет квадрат. Вершины этого квадрата находятся в точках пересечения граничных прямых: $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(3, 3)$ и $(0, 3)$. Изображением данного множества является квадрат, включая его стороны и внутреннюю область.

Ответ: Квадрат с вершинами в точках (0, 0), (3, 0), (3, 3), (0, 3).

б)

Система неравенств $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $x + y \le 3$ также задает на координатной плоскости замкнутую область.

Неравенства $x \ge 0$ и $y \ge 0$ вместе определяют первый координатный квадрант, включая его границы — положительные части осей OX и OY.

Рассмотрим третье неравенство $x + y \le 3$. Оно задает полуплоскость. Чтобы определить, какую именно, сначала построим граничную прямую $x + y = 3$. Эту прямую можно записать как $y = -x + 3$. Она проходит через точки $(0, 3)$ (пересечение с осью OY) и $(3, 0)$ (пересечение с осью OX).

Чтобы определить, какую полуплоскость задает неравенство $x + y \le 3$, возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее координаты в неравенство: $0 + 0 \le 3$, что является верным ($0 \le 3$). Следовательно, искомая полуплоскость содержит начало координат, то есть это область, расположенная ниже и на самой прямой $x + y = 3$.

Геометрическое место точек, удовлетворяющих всем трем неравенствам, является пересечением первого координатного квадранта и полуплоскости $x + y \le 3$. Это пересечение представляет собой треугольник, ограниченный осями координат (прямыми $x=0$ и $y=0$) и прямой $x+y=3$. Вершины этого треугольника находятся в точках пересечения граничных прямых: $(0, 0)$, $(3, 0)$ и $(0, 3)$. Так как все неравенства нестрогие, границы треугольника (его стороны) входят в искомое множество.

Ответ: Прямоугольный треугольник с вершинами в точках (0, 0), (3, 0) и (0, 3).