Вопросы, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как задается полуплоскость?

2. Как задается выпуклый многоугольник?

1. Как задается полуплоскость?
Полуплоскость — это часть плоскости, расположенная по одну сторону от некоторой прямой, лежащей в этой плоскости. Эта прямая называется границей полуплоскости.
В декартовой системе координат любая прямая задается линейным уравнением $ax + by + c = 0$, где коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Все точки $(x, y)$, не лежащие на этой прямой, удовлетворяют одному из двух строгих неравенств: $ax + by + c > 0$ или $ax + by + c < 0$. Каждое из этих неравенств задает открытую полуплоскость (то есть полуплоскость без ее границы).
Если к точкам открытой полуплоскости добавить точки самой граничной прямой, получится замкнутая полуплоскость. Она задается нестрогим линейным неравенством: $ax + by + c \ge 0$ или $ax + by + c \le 0$.
Таким образом, для задания полуплоскости необходимо определить ее граничную прямую и указать, какую из двух частей плоскости она включает.
Ответ: Полуплоскость задается прямой (ее границей) и выбором одной из двух областей, на которые эта прямая делит плоскость. Аналитически, в системе координат, полуплоскость задается одним линейным неравенством с двумя переменными, например, $ax + by + c \ge 0$.

2. Как задается выпуклый многоугольник?
Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который обладает свойством выпуклости: он целиком лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через любую из его сторон. Эквивалентное определение: отрезок, соединяющий любые две точки внутри многоугольника, полностью содержится в этом многоугольнике.
С точки зрения геометрии, выпуклый многоугольник можно определить как пересечение конечного числа замкнутых полуплоскостей. Каждая сторона многоугольника лежит на границе одной из этих полуплоскостей, а сам многоугольник находится внутри каждой из них.
В аналитической геометрии выпуклый n-угольник задается системой из $n$ линейных неравенств. Если прямые, на которых лежат стороны многоугольника, заданы уравнениями $a_i x + b_i y + c_i = 0$ для $i=1, \dots, n$, то множество точек $(x, y)$, принадлежащих многоугольнику, является решением системы неравенств:
$\begin{cases}a_1 x + b_1 y + c_1 \ge 0 \\a_2 x + b_2 y + c_2 \ge 0 \\\vdots \\a_n x + b_n y + c_n \ge 0\end{cases}$
Знаки неравенств $(\ge)$ подобраны так, чтобы выделить внутреннюю область многоугольника относительно каждой из его сторон.
Ответ: Выпуклый многоугольник задается как пересечение конечного числа полуплоскостей. В координатной форме это соответствует системе линейных неравенств.