Номер 6, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Напишите неравенства, которым удовлетворяют координаты точек фигур, изображенных на рисунке 28.5.

а)

$ -2 \le x \le 2 $

$ -1 \le y \le 1 $

б)

$ 0 \le y \le 2 - |x| $

Рис. 28.5

а)

Фигура, изображенная на рисунке а), представляет собой прямоугольник. Чтобы описать эту фигуру с помощью неравенств, необходимо определить границы для координат x и y всех точек, принадлежащих этой фигуре, включая ее контур.
1. По оси абсцисс (оси x) фигура расположена в пределах от $x = -2$ до $x = 2$. Поскольку границы (вертикальные стороны прямоугольника) включены, координата x любой точки фигуры удовлетворяет двойному неравенству:
$-2 \le x \le 2$.
Это неравенство также можно записать с использованием модуля: $|x| \le 2$.
2. По оси ординат (оси y) фигура расположена в пределах от $y = -1$ до $y = 1$. Горизонтальные стороны прямоугольника также включены, поэтому координата y любой точки фигуры удовлетворяет двойному неравенству:
$-1 \le y \le 1$.
Это неравенство также можно записать как $|y| \le 1$.
Так как оба условия должны выполняться одновременно для любой точки фигуры, мы объединяем их в систему неравенств.

Ответ: $\begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ -1 \le y \le 1 \end{cases}$ или $\begin{cases} |x| \le 2 \\ |y| \le 1 \end{cases}$.

б)

Фигура, изображенная на рисунке б), представляет собой треугольник с вершинами в точках $(-2, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 2)$.
1. Нижняя граница треугольника лежит на оси абсцисс, то есть на прямой $y=0$. Все точки фигуры находятся на этой прямой или выше нее, поэтому для координаты y выполняется неравенство:
$y \ge 0$.
2. Верхняя граница фигуры состоит из двух отрезков, образующих "крышу" треугольника.
- Левый верхний отрезок соединяет точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$. Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки. Угловой коэффициент $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{0 - (-2)} = \frac{2}{2} = 1$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Подставив координаты точки $(0, 2)$, находим $b$: $2 = 1 \cdot 0 + b$, откуда $b = 2$. Уравнение прямой: $y = x + 2$. Поскольку закрашенная область находится ниже этой прямой, соответствующее неравенство: $y \le x + 2$.
- Правый верхний отрезок соединяет точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$. Угловой коэффициент $k = \frac{0 - 2}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1$. Уравнение прямой: $y = -x + 2$ (так как $b=2$). Поскольку закрашенная область находится ниже этой прямой, соответствующее неравенство: $y \le -x + 2$.
Таким образом, фигуру можно описать системой из трех неравенств:
$\begin{cases} y \ge 0 \\ y \le x + 2 \\ y \le -x + 2 \end{cases}$
Два последних неравенства, описывающие верхнюю границу, можно объединить в одно с помощью модуля. Функция, описывающая верхнюю границу, это $y = -|x| + 2$. Действительно, при $x \ge 0$ имеем $y = -x + 2$, а при $x < 0$ имеем $y = -(-x) + 2 = x + 2$.
Поэтому неравенства $y \le x + 2$ и $y \le -x + 2$ эквивалентны одному неравенству $y \le -|x| + 2$, которое можно переписать в виде $y + |x| \le 2$.
В итоге получаем более компактную систему из двух неравенств.

Ответ: $\begin{cases} y \ge 0 \\ y + |x| \le 2 \end{cases}$.