Номер 12, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Напишите неравенства, задающие четырехугольник с вершинами $O(0; 0)$, $A(1; 0)$, $B(2; 2)$, $C(1; 2)$.

Для того чтобы задать четырехугольник с помощью неравенств, необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат его стороны, и затем определить, какую полуплоскость задает каждая из этих прямых.

Данный четырехугольник имеет вершины в точках $O(0; 0)$, $A(1; 0)$, $B(2; 2)$, $C(1; 2)$. Найдем уравнения для каждой стороны.

Сторона OA

Эта сторона соединяет точки $O(0; 0)$ и $A(1; 0)$. Обе точки лежат на оси абсцисс, следовательно, уравнение прямой, содержащей эту сторону, — $y = 0$. Поскольку все точки четырехугольника лежат не ниже этой прямой, первое неравенство будет $y \ge 0$.

Сторона BC

Эта сторона соединяет точки $B(2; 2)$ и $C(1; 2)$. У обеих точек ордината равна 2, следовательно, уравнение прямой, содержащей эту сторону, — $y = 2$. Все точки четырехугольника лежат не выше этой прямой, поэтому второе неравенство — $y \le 2$.

Сторона OC

Эта сторона соединяет точки $O(0; 0)$ и $C(1; 2)$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Подставим координаты точек O и C:

$\frac{x - 0}{1 - 0} = \frac{y - 0}{2 - 0}$

$x = \frac{y}{2}$

$y = 2x$

Чтобы определить знак неравенства, возьмем любую точку внутри четырехугольника, например, точку $A(1; 0)$, которая лежит на его границе. Подставим ее координаты в уравнение, преобразованное к виду $y - 2x = 0$: $0 - 2(1) = -2$. Так как $-2 \le 0$, а фигура находится "справа и снизу" от прямой, то неравенство будет $y - 2x \le 0$, или $y \le 2x$.

Сторона AB

Эта сторона соединяет точки $A(1; 0)$ и $B(2; 2)$. Снова воспользуемся формулой уравнения прямой:

$\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y - 0}{2 - 0}$

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2}$

$y = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2$

Преобразуем к виду $y - 2x + 2 = 0$. Возьмем тестовую точку внутри фигуры, например, $C(1; 2)$ с ее границы. Подставим ее координаты: $2 - 2(1) + 2 = 2$. Так как $2 \ge 0$, а фигура находится "слева и сверху" от прямой, то неравенство будет $y - 2x + 2 \ge 0$, или $y \ge 2x - 2$.

Таким образом, четырехугольник OABC задается системой из четырех неравенств.

Ответ:$\begin{cases} y \ge 0 \\ y \le 2 \\ y \le 2x \\ y \ge 2x - 2 \end{cases}$