Номер 13, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Изобразите фигуру, координаты $(x; y)$ точек которой удовлетворяют равенству $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2.$

Чтобы изобразить фигуру, заданную уравнением $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2$, необходимо определить, что это за фигура и каковы ее параметры. Для этого приведем данное уравнение к каноническому виду. Уравнение содержит $x^2$ и $y^2$ с одинаковыми коэффициентами, что является признаком уравнения окружности.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Приведем наше уравнение к этому виду, используя метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение:
$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$:
$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) = 2$

Теперь выделим полные квадраты. Для выражения $(x^2 - 2x)$ не хватает слагаемого $(2/2)^2 = 1^2 = 1$, чтобы получился квадрат разности $(x - 1)^2$. Аналогично, для выражения $(y^2 - 2y)$ не хватает слагаемого $1$, чтобы получился квадрат $(y - 1)^2$. Чтобы сохранить верность равенства, добавим эти числа к обеим частям уравнения:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 2 + 1 + 1$

Теперь свернем левую часть по формулам квадрата разности и вычислим правую часть:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$

Мы получили каноническое уравнение окружности. Сравнивая его с общей формулой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, мы можем определить параметры фигуры:
- Координаты центра окружности: $(a; b) = (1; 1)$.
- Квадрат радиуса: $R^2 = 4$.
- Радиус окружности: $R = \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, данное равенство описывает окружность с центром в точке $C(1; 1)$ и радиусом $R = 2$.

Для изображения этой фигуры на координатной плоскости нужно:
1. Построить прямоугольную систему координат $xOy$.
2. Отметить точку $C$ с координатами $(1; 1)$ — это будет центр окружности.
3. Из центра $C$ провести окружность радиусом 2. Это можно сделать с помощью циркуля, установив его ножку в точку $C$, а карандаш на расстояние 2 единицы масштаба. Окружность будет пересекать оси координат и проходить, например, через точки $(3; 1)$, $(-1; 1)$, $(1; 3)$ и $(1; -1)$.

Ответ: Фигура, координаты точек которой удовлетворяют равенству $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2$, является окружностью с центром в точке $(1; 1)$ и радиусом $2$.