Номер 10, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Напишите неравенства, задающие многоугольник, изображенный на рисунке 28.6.

Рис. 28.6

Для того чтобы задать многоугольник, изображенный на рисунке, системой неравенств, необходимо определить уравнения прямых, на которых лежат его стороны, и для каждой прямой составить соответствующее неравенство, которое задает полуплоскость, содержащую многоугольник.

Сначала определим координаты вершин восьмиугольника из графика: (0, 1), (1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 3), (0, 2).

Теперь найдем уравнения прямых для каждой стороны и соответствующие им неравенства.

1. Вертикальные и горизонтальные стороны

- Сторона, соединяющая точки (1, 0) и (2, 0), лежит на прямой $y=0$. Так как многоугольник расположен выше этой прямой, получаем неравенство $y \ge 0$.

- Сторона, соединяющая точки (3, 1) и (3, 2), лежит на прямой $x=3$. Так как многоугольник расположен левее этой прямой, получаем неравенство $x \le 3$.

- Сторона, соединяющая точки (1, 3) и (2, 3), лежит на прямой $y=3$. Так как многоугольник расположен ниже этой прямой, получаем неравенство $y \le 3$.

- Сторона, соединяющая точки (0, 1) и (0, 2), лежит на прямой $x=0$. Так как многоугольник расположен правее этой прямой, получаем неравенство $x \ge 0$.

2. Наклонные стороны

- Сторона, соединяющая точки (0, 1) и (1, 0). Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$. Для точек (0, 1) и (1, 0) получаем: $\frac{x-0}{1-0} = \frac{y-1}{0-1}$, что упрощается до $x = -(y-1)$, или $x+y=1$. Чтобы определить знак неравенства, возьмем точку изнутри многоугольника, например (1.5, 1.5). Для нее $1.5+1.5=3$, что больше 1. Следовательно, неравенство имеет вид $x+y \ge 1$.

- Сторона, соединяющая точки (2, 0) и (3, 1). Уравнение прямой: $\frac{x-2}{3-2} = \frac{y-0}{1-0}$, что дает $x-2 = y$, или $x-y=2$. Проверим с точкой (1.5, 1.5): $1.5-1.5=0$, что меньше 2. Следовательно, неравенство имеет вид $x-y \le 2$.

- Сторона, соединяющая точки (2, 3) и (3, 2). Уравнение прямой: $\frac{x-2}{3-2} = \frac{y-3}{2-3}$, что дает $x-2 = -(y-3)$, или $x+y=5$. Проверим с точкой (1.5, 1.5): $1.5+1.5=3$, что меньше 5. Следовательно, неравенство имеет вид $x+y \le 5$.

- Сторона, соединяющая точки (0, 2) и (1, 3). Уравнение прямой: $\frac{x-0}{1-0} = \frac{y-2}{3-2}$, что дает $x=y-2$, или $y-x=2$. Проверим с точкой (1.5, 1.5): $1.5-1.5=0$, что меньше 2. Следовательно, неравенство имеет вид $y-x \le 2$.

Объединив все полученные неравенства в систему, мы получим описание данного многоугольника.

Ответ: Система неравенств, задающая многоугольник:
$x \ge 0$
$y \ge 0$
$x \le 3$
$y \le 3$
$x+y \ge 1$
$x-y \le 2$
$x+y \le 5$
$y-x \le 2$