Номер 5, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Изобразите фигуру, координаты которых удовлетворяют неравенству $|x|+|y| \le 3$.

Для того, чтобы изобразить фигуру, заданную неравенством $|x| + |y| \le 3$, необходимо рассмотреть это неравенство в каждой из четырех координатных четвертей, раскрывая знаки модуля в зависимости от знаков переменных $x$ и $y$.

1. Первая координатная четверть: $x \ge 0, y \ge 0$

В этой области $|x| = x$ и $|y| = y$. Неравенство принимает вид: $x + y \le 3$. Это область, расположенная ниже или на прямой $y = -x + 3$. В первой четверти это будет треугольник, ограниченный осями координат ($x=0$, $y=0$) и отрезком прямой $x + y = 3$, соединяющим точки $(3, 0)$ и $(0, 3)$. Вершины этого треугольника: $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(0, 3)$.

2. Вторая координатная четверть: $x < 0, y \ge 0$

В этой области $|x| = -x$ и $|y| = y$. Неравенство принимает вид: $-x + y \le 3$. Это область, расположенная ниже или на прямой $y = x + 3$. Во второй четверти это будет треугольник, ограниченный осями координат и отрезком прямой $-x + y = 3$, соединяющим точки $(-3, 0)$ и $(0, 3)$. Вершины этого треугольника: $(0, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$.

3. Третья координатная четверть: $x < 0, y < 0$

В этой области $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Неравенство принимает вид: $-x - y \le 3$, что эквивалентно $x + y \ge -3$. Это область, расположенная выше или на прямой $y = -x - 3$. В третьей четверти это будет треугольник, ограниченный осями координат и отрезком прямой $x + y = -3$, соединяющим точки $(-3, 0)$ и $(0, -3)$. Вершины этого треугольника: $(0, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, -3)$.

4. Четвертая координатная четверть: $x \ge 0, y < 0$

В этой области $|x| = x$ и $|y| = -y$. Неравенство принимает вид: $x - y \le 3$. Это область, расположенная выше или на прямой $y = x - 3$. В четвертой четверти это будет треугольник, ограниченный осями координат и отрезком прямой $x - y = 3$, соединяющим точки $(3, 0)$ и $(0, -3)$. Вершины этого треугольника: $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(0, -3)$.

Объединив все четыре полученных треугольника, мы получаем фигуру, представляющую собой квадрат, диагонали которого лежат на осях координат. Вершины этого квадрата находятся в точках пересечения граничных прямых с осями координат.

Вершины фигуры: $(3, 0)$, $(0, 3)$, $(-3, 0)$ и $(0, -3)$.

Так как неравенство является нестрогим ($\le$), искомая фигура включает в себя как все точки внутри этого квадрата, так и точки на его границе.

Ответ: Фигура, координаты которой удовлетворяют неравенству $|x| + |y| \le 3$, представляет собой квадрат с вершинами в точках $(3, 0)$, $(0, 3)$, $(-3, 0)$ и $(0, -3)$. Решением является область внутри этого квадрата вместе с его границами.