Номер 4, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Нарисуйте многоугольник, координаты точек которого удовлетворяют неравенствам:

$\begin{cases} 0 \le x \le 4, \\ 0 \le y \le 4, \\ x + y \ge 4. \end{cases}$

Для построения многоугольника, заданного системой неравенств, необходимо найти на координатной плоскости область, которая удовлетворяет всем трем условиям одновременно. Рассмотрим каждый шаг.

1. Неравенства $0 \le x \le 4$ и $0 \le y \le 4$ определяют замкнутую область. Первое неравенство, $0 \le x \le 4$, задает все точки, находящиеся между вертикальными прямыми $x=0$ (ось OY) и $x=4$ или на них. Второе неравенство, $0 \le y \le 4$, задает все точки между горизонтальными прямыми $y=0$ (ось OX) и $y=4$ или на них. Совместное выполнение этих двух условий определяет квадрат с вершинами в точках (0, 0), (4, 0), (4, 4) и (0, 4).

2. Третье неравенство — $x + y \ge 4$. Оно определяет полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая $x + y = 4$. Эту прямую можно также записать как $y = 4 - x$. Она проходит через точки (4, 0) и (0, 4). Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является решением, можно использовать пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат (0, 0). Подставим ее координаты в неравенство: $0 + 0 \ge 4$, что является ложным утверждением ($0 \ge 4$ — неверно). Следовательно, нам нужна та полуплоскость, которая не содержит начало координат, то есть область, расположенная над и справа от прямой $x + y = 4$.

3. Искомый многоугольник является пересечением квадрата из первого пункта и полуплоскости из второго. Прямая $x + y = 4$ проходит через две вершины квадрата — (4, 0) и (0, 4) — и отсекает от него треугольную область с вершинами (0, 0), (4, 0) и (0, 4). Точки внутри этого отсеченного треугольника не удовлетворяют неравенству $x + y \ge 4$. Оставшаяся часть квадрата и есть искомая фигура.

Таким образом, многоугольник представляет собой треугольник. Его вершины — это две вершины квадрата, лежащие на прямой $x+y=4$, и третья вершина квадрата, удовлетворяющая неравенству $x+y \ge 4$. Это точки (0, 4), (4, 0) и (4, 4). Чтобы нарисовать фигуру, достаточно отметить эти три точки на координатной плоскости и соединить их отрезками. Полученный треугольник и будет решением.

Ответ: Искомый многоугольник — это треугольник с вершинами в точках с координатами (0, 4), (4, 0) и (4, 4).