Номер 7, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. На клетчатой бумаге изобразите прямые, заданные уравнениями $x = 2y$ и $y = 3x$. Найдите угол между этими прямыми.

Построение прямых

Для того чтобы изобразить прямые на клетчатой бумаге, необходимо найти координаты как минимум двух точек для каждой прямой. Обе прямые являются прямыми пропорциональностями вида $y=kx$, поэтому они проходят через начало координат — точку (0, 0).

1. Первая прямая задана уравнением $x = 2y$. Для удобства построения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{1}{2}x$.
Первая точка — это начало координат (0, 0).
Для нахождения второй точки выберем удобное значение $x$, например, $x = 2$. Тогда $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Получаем вторую точку (2, 1).
Чтобы построить эту прямую, нужно соединить точки (0, 0) и (2, 1). На клетчатой бумаге это соответствует смещению на 2 клетки вправо и на 1 клетку вверх от начала координат.

2. Вторая прямая задана уравнением $y = 3x$.
Эта прямая также проходит через начало координат (0, 0).
Для нахождения второй точки выберем $x = 1$. Тогда $y = 3 \cdot 1 = 3$. Получаем вторую точку (1, 3).
Чтобы построить эту прямую, нужно соединить точки (0, 0) и (1, 3). На клетчатой бумаге это соответствует смещению на 1 клетку вправо и на 3 клетки вверх от начала координат.

Нахождение угла между прямыми

Угол $\alpha$ между двумя неперпендикулярными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, можно найти, используя формулу для тангенса этого угла:
$\tan(\alpha) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|$

Найдем угловые коэффициенты для наших прямых:
- Для прямой $y = \frac{1}{2}x$ угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$.
- Для прямой $y = 3x$ угловой коэффициент $k_2 = 3$.

Теперь подставим значения $k_1$ и $k_2$ в формулу:
$\tan(\alpha) = \left| \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2} \cdot 3} \right| = \left| \frac{\frac{6-1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{2}}{\frac{2+3}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} \right| = 1$.

Мы получили, что тангенс острого угла между прямыми равен 1. Угол, тангенс которого равен 1, — это $45^\circ$.

Ответ: 45°.