Номер 14, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Напишите неравенства, которым удовлетворяют координаты точек фигур, изображенных на рисунке 28.7.

а)

$x^2 + y^2 \le 4$

б)

$(x-1)^2 + (y-1)^2 \le 1$

Рис. 28.7

а) На рисунке изображен круг (окружность и область внутри нее). Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Из рисунка видно, что центр круга находится в начале координат, то есть его координаты $(x_0, y_0) = (0, 0)$.

Окружность пересекает оси координат в точках $(2, 0)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(0, -2)$. Расстояние от центра $(0, 0)$ до любой из этих точек равно 2. Следовательно, радиус круга $R = 2$.

Уравнение окружности, которая является границей фигуры, имеет вид $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$, что упрощается до $x^2 + y^2 = 4$.

Поскольку фигура включает в себя все точки внутри окружности и на самой окружности (граница сплошная), то координаты любой точки $(x, y)$ этой фигуры должны удовлетворять условию, что расстояние от нее до центра не превышает радиус. В квадрате это условие записывается как $x^2 + y^2 \le R^2$.

Таким образом, искомое неравенство: $x^2 + y^2 \le 4$.

Ответ: $x^2 + y^2 \le 4$

б) На этом рисунке также изображен круг. Сначала определим его центр и радиус.

Из графика видно, что круг расположен в первой координатной четверти. Его крайние точки по оси $x$ имеют координаты 0 и 2, а по оси $y$ — 0 и 2. Центр круга находится в середине этих отрезков. Координата $x_0$ центра равна $(0+2)/2 = 1$. Координата $y_0$ центра равна $(0+2)/2 = 1$. Таким образом, центр круга — точка $(1, 1)$.

Радиус $R$ можно найти как расстояние от центра $(1, 1)$ до любой точки на окружности. Например, до точки $(1, 2)$. $R = \sqrt{(1-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$. Итак, радиус $R = 1$.

Подставим координаты центра $(1, 1)$ и радиус $R=1$ в общее уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$, что равносильно $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$.

Фигура включает в себя как саму окружность, так и область внутри нее. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ фигуры квадрат расстояния до центра должен быть меньше или равен квадрату радиуса. Это дает нам следующее неравенство:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$.

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$