Номер 15, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Изобразите фигуру, координаты $(x; y)$ точек которой удовлетворяют неравенству $0 \le x^2 + y^2 - 2x \le 3$.

Заданное двойное неравенство $0 \le x^2 + y^2 - 2x \le 3$ можно представить в виде системы двух неравенств:

$\begin{cases}x^2 + y^2 - 2x \ge 0 \\x^2 + y^2 - 2x \le 3\end{cases}$

Для анализа этих неравенств преобразуем выражение $x^2 + y^2 - 2x$, выделив в нем полный квадрат относительно переменной x:

$x^2 - 2x + y^2 = (x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2 - 1$

Теперь система неравенств принимает вид:

$\begin{cases}(x - 1)^2 + y^2 - 1 \ge 0 \\(x - 1)^2 + y^2 - 1 \le 3\end{cases}$

После переноса констант в правую часть получаем:

$\begin{cases}(x - 1)^2 + y^2 \ge 1 \\(x - 1)^2 + y^2 \le 4\end{cases}$

Первое неравенство, $(x - 1)^2 + y^2 \ge 1$, описывает множество точек, лежащих на и вне окружности с центром в точке $C(1; 0)$ и радиусом $R_1 = 1$.

Второе неравенство, $(x - 1)^2 + y^2 \le 4$, описывает множество точек, лежащих на и внутри окружности с центром в той же точке $C(1; 0)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{4} = 2$.

Искомая фигура является пересечением этих двух множеств. Это все точки плоскости, которые находятся между двумя концентрическими окружностями (или на их границах). Такая фигура называется кольцом.

Таким образом, для изображения фигуры необходимо начертить на координатной плоскости две окружности с общим центром в точке $(1; 0)$ и радиусами 1 и 2. Искомой фигурой будет область между этими окружностями, включая сами окружности.

Ответ: Искомая фигура — это кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в точке $(1; 0)$ и радиусами $R_1=1$ и $R_2=2$. Границы кольца (сами окружности) принадлежат этой фигуре.