Номер 11, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Напишите неравенства, задающие треугольник с вершинами A(3; 1), B(0; 3), C(2; 4).

Чтобы задать треугольник с помощью системы неравенств, необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат его стороны, а затем для каждой прямой определить, в какой из двух полуплоскостей, ограниченных этой прямой, лежит треугольник. Включая сами прямые, мы будем использовать нестрогие неравенства (≤ или ≥).

Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

1. Уравнение прямой AB

Найдем уравнение прямой, проходящей через вершины A(3; 1) и B(0; 3). Подставляем их координаты в формулу:

$\frac{x - 3}{0 - 3} = \frac{y - 1}{3 - 1}$

$\frac{x - 3}{-3} = \frac{y - 1}{2}$

Перемножим крест-накрест:

$2(x - 3) = -3(y - 1)$

$2x - 6 = -3y + 3$

Уравнение прямой AB: $2x + 3y - 9 = 0$.

Чтобы определить знак неравенства, возьмем третью вершину C(2; 4) в качестве тестовой точки и подставим ее координаты в левую часть уравнения:

$2(2) + 3(4) - 9 = 4 + 12 - 9 = 7$.

Поскольку результат $7 > 0$, а точка C должна лежать в искомой полуплоскости, то все точки треугольника удовлетворяют неравенству $2x + 3y - 9 \ge 0$.

2. Уравнение прямой BC

Найдем уравнение прямой, проходящей через вершины B(0; 3) и C(2; 4).

$\frac{x - 0}{2 - 0} = \frac{y - 3}{4 - 3}$

$\frac{x}{2} = \frac{y - 3}{1}$

$x = 2(y - 3)$

Уравнение прямой BC: $x - 2y + 6 = 0$.

В качестве тестовой точки возьмем вершину A(3; 1):

$3 - 2(1) + 6 = 3 - 2 + 6 = 7$.

Поскольку результат $7 > 0$, соответствующее неравенство: $x - 2y + 6 \ge 0$.

3. Уравнение прямой AC

Найдем уравнение прямой, проходящей через вершины A(3; 1) и C(2; 4).

$\frac{x - 3}{2 - 3} = \frac{y - 1}{4 - 1}$

$\frac{x - 3}{-1} = \frac{y - 1}{3}$

$3(x - 3) = -(y - 1)$

$3x - 9 = -y + 1$

Уравнение прямой AC: $3x + y - 10 = 0$.

В качестве тестовой точки возьмем вершину B(0; 3):

$3(0) + 3 - 10 = -7$.

Поскольку результат $-7 < 0$, соответствующее неравенство: $3x + y - 10 \le 0$.

Объединив все три неравенства в систему, получим искомое описание области, занимаемой треугольником ABC.

Ответ: $\begin{cases} 2x + 3y - 9 \ge 0 \\ x - 2y + 6 \ge 0 \\ 3x + y - 10 \le 0 \end{cases}$