Номер 5, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Точки $O(0; 0)$, $A(x; y)$, $B(6; 8)$ и $C(0; 6)$ являются вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки $A$:

A. $(2; 6)$.

B. $(2; 8)$.

C. $(6; 2)$.

D. $(6; 0)$.

Для нахождения координат точки A воспользуемся одним из ключевых свойств параллелограмма: его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что середины диагоналей совпадают. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляются по формулам: $x_m = \frac{x_1+x_2}{2}$, $y_m = \frac{y_1+y_2}{2}$.

Заданные точки O(0; 0), A(x; y), B(6; 8) и C(0; 6) могут образовывать параллелограмм тремя различными способами, в зависимости от порядка следования вершин. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Параллелограмм OABC
В этом случае вершины расположены в порядке O, A, B, C. Диагоналями являются отрезки, соединяющие противолежащие вершины: OB и AC.
Найдем координаты середины диагонали OB:$M_{OB} = (\frac{0 + 6}{2}; \frac{0 + 8}{2}) = (3; 4)$.
Найдем координаты середины диагонали AC:$M_{AC} = (\frac{x + 0}{2}; \frac{y + 6}{2}) = (\frac{x}{2}; \frac{y+6}{2})$.
Так как середины диагоналей должны совпадать, приравниваем их координаты:
$\frac{x}{2} = 3 \implies x = 6$
$\frac{y+6}{2} = 4 \implies y + 6 = 8 \implies y = 2$
Таким образом, координаты точки A: $(6; 2)$. Этот вариант соответствует варианту ответа C.

Случай 2: Параллелограмм OACB
В этом случае вершины расположены в порядке O, A, C, B. Диагоналями являются отрезки OC и AB.
Найдем координаты середины диагонали OC:$M_{OC} = (\frac{0 + 0}{2}; \frac{0 + 6}{2}) = (0; 3)$.
Найдем координаты середины диагонали AB:$M_{AB} = (\frac{x + 6}{2}; \frac{y + 8}{2})$.
Приравниваем координаты середин:
$\frac{x+6}{2} = 0 \implies x + 6 = 0 \implies x = -6$
$\frac{y+8}{2} = 3 \implies y + 8 = 6 \implies y = -2$
Координаты точки A в этом случае: $(-6; -2)$. Такого варианта ответа нет.

Случай 3: Параллелограмм OBAC
В этом случае вершины расположены в порядке O, B, A, C. Диагоналями являются отрезки OA и BC.
Найдем координаты середины диагонали BC:$M_{BC} = (\frac{6 + 0}{2}; \frac{8 + 6}{2}) = (3; 7)$.
Найдем координаты середины диагонали OA:$M_{OA} = (\frac{0 + x}{2}; \frac{0 + y}{2}) = (\frac{x}{2}; \frac{y}{2})$.
Приравниваем координаты середин:
$\frac{x}{2} = 3 \implies x = 6$
$\frac{y}{2} = 7 \implies y = 14$
Координаты точки A в этом случае: $(6; 14)$. Такого варианта ответа нет.

Проанализировав все три возможных варианта, мы видим, что только один из них приводит к результату, который есть среди предложенных вариантов ответа. Это случай, когда точки образуют параллелограмм OABC, и искомые координаты точки A равны $(6; 2)$.
Ответ: (6; 2).