Номер 12, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Найдите уравнение прямой, проходящей через точки A(2; 0), B(0; 3):

A. $2x + 3y = 9$.

B. $3x + 2y = 6$.

C. $2x - 3y = 9$.

D. $3x - 2y = 6$.

Для решения задачи можно использовать два основных подхода: составить уравнение прямой по двум заданным точкам или проверить предложенные варианты, подставив в них координаты точек.

Способ 1: Составление уравнения прямой по двум точкам

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$), записывается формулой:

$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $

Подставим в эту формулу координаты заданных точек A(2; 0) и B(0; 3). Примем $x_1 = 2$, $y_1 = 0$, $x_2 = 0$ и $y_2 = 3$:

$ \frac{x - 2}{0 - 2} = \frac{y - 0}{3 - 0} $

Упростим знаменатели:

$ \frac{x - 2}{-2} = \frac{y}{3} $

Теперь воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест), чтобы избавиться от дробей:

$ 3(x - 2) = -2y $

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$ 3x - 6 = -2y $

Перенесем слагаемые, чтобы привести уравнение к общему виду $Ax + By = C$, как в вариантах ответа:

$ 3x + 2y = 6 $

Полученное уравнение совпадает с вариантом B.

Ответ: B. $3x + 2y = 6$.

Способ 2: Проверка предложенных вариантов методом подстановки

Если прямая проходит через точку, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой. Проверим каждый вариант, подставляя в него поочередно координаты точек A(2; 0) и B(0; 3).

A. $2x + 3y = 9$

Для A(2; 0): $2(2) + 3(0) = 4 + 0 = 4$. Так как $4 \neq 9$, уравнение неверно.

B. $3x + 2y = 6$

Для A(2; 0): $3(2) + 2(0) = 6 + 0 = 6$. Равенство $6=6$ верно.

Для B(0; 3): $3(0) + 2(3) = 0 + 6 = 6$. Равенство $6=6$ верно.

Обе точки лежат на этой прямой, значит, это правильный ответ.

C. $2x - 3y = 9$

Для A(2; 0): $2(2) - 3(0) = 4 - 0 = 4$. Так как $4 \neq 9$, уравнение неверно.

D. $3x - 2y = 6$

Для A(2; 0): $3(2) - 2(0) = 6 - 0 = 6$. Равенство $6=6$ верно.

Для B(0; 3): $3(0) - 2(3) = 0 - 6 = -6$. Так как $-6 \neq 6$, уравнение неверно.

Единственное уравнение, которому удовлетворяют координаты обеих точек, — это уравнение из варианта B.

Ответ: B. $3x + 2y = 6$.