Номер 19, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Определите вид треугольника $ABC$, если $A(0; -2)$, $B(-2; 0)$, $C(2; 2)$:

A. Прямоугольный.

B. Равнобедренный.

C. Равносторонний.

D. Произвольный.

Чтобы определить вид треугольника ABC, необходимо найти длины его сторон, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Координаты вершин треугольника: $A(0; -2)$, $B(-2; 0)$, $C(2; 2)$.

1. Вычислим длину стороны AB:

$AB = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.

2. Вычислим длину стороны BC:

$BC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(2 + 2)^2 + 2^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.

3. Вычислим длину стороны AC:

$AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.

Итак, мы получили длины сторон: $AB = \sqrt{8}$, $BC = \sqrt{20}$, $AC = \sqrt{20}$. Теперь проанализируем предложенные варианты.

A. Прямоугольный.

Чтобы треугольник был прямоугольным, для него должна выполняться теорема Пифагора: квадрат гипотенузы (наибольшей стороны) равен сумме квадратов катетов. Квадраты длин сторон: $AB^2 = 8$, $BC^2 = 20$, $AC^2 = 20$. Проверим равенство для возможных комбинаций: $8 + 20 \neq 20$. Теорема Пифагора не выполняется, следовательно, треугольник не является прямоугольным.

B. Равнобедренный.

Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны по длине. В нашем случае $BC = AC = \sqrt{20}$. Это условие выполняется, значит, треугольник ABC является равнобедренным.

C. Равносторонний.

Треугольник является равносторонним, если все три его стороны равны. У нас $AB \neq BC$ (поскольку $\sqrt{8} \neq \sqrt{20}$), поэтому треугольник не является равносторонним.

D. Произвольный.

Произвольный (или разносторонний) треугольник имеет все стороны разной длины. Так как у нашего треугольника две стороны равны, он не является произвольным.

Таким образом, единственной верной характеристикой для треугольника ABC из предложенных является то, что он равнобедренный.

Ответ: B. Равнобедренный.