Номер 4, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. На сколько треугольников делится выпуклый:

а) четырехугольник;

б) пятиугольник;

в) шестиугольник;

г) $n$-угольник

своими диагоналями, проведенными из одной вершины?

а) четырехугольник
Выпуклый четырехугольник имеет 4 вершины. Из одной произвольно выбранной вершины можно провести диагонали к тем вершинам, которые не являются соседними. Таких вершин для четырехугольника всего одна. Таким образом, из одной вершины можно провести $4-3=1$ диагональ. Эта диагональ разделит четырехугольник на два треугольника.
Ответ: на 2 треугольника.

б) пятиугольник
Выпуклый пятиугольник имеет 5 вершин. Из одной вершины можно провести диагонали к двум не соседним с ней вершинам. Количество диагоналей, исходящих из одной вершины, равно $5-3=2$. Эти две диагонали разделяют пятиугольник на три треугольника.
Ответ: на 3 треугольника.

в) шестиугольник
Выпуклый шестиугольник имеет 6 вершин. Из одной вершины можно провести диагонали к трем не соседним с ней вершинам. Количество диагоналей равно $6-3=3$. Эти три диагонали разделяют шестиугольник на четыре треугольника.
Ответ: на 4 треугольника.

г) n-угольник
Рассмотрим общий случай для выпуклого n-угольника. У него $n$ вершин. Выберем одну любую вершину. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Из выбранной вершины нельзя провести диагональ к ней самой и к двум соседним с ней вершинам. Следовательно, количество вершин, к которым можно провести диагонали, равно $n-3$. Таким образом, из одной вершины можно провести $n-3$ диагонали.
Эти $n-3$ диагонали делят n-угольник на несколько треугольников. Каждая проведенная диагональ добавляет один треугольник, а первая диагональ создает сразу два. Значит, общее число треугольников будет на единицу больше, чем число проведенных диагоналей. Количество треугольников равно $(n-3)+1 = n-2$.
Итак, выпуклый n-угольник делится на $n-2$ треугольника диагоналями, проведенными из одной его вершины.
Ответ: на $n-2$ треугольника.