Номер 10, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых внутренних углов.

Доказательство

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного, рассмотрев внешние углы выпуклого многоугольника.

Известно, что сумма внешних углов любого выпуклого $n$-угольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$. Внешний угол $\beta$ при некоторой вершине и внутренний угол $\alpha$ при той же вершине являются смежными, поэтому их сумма составляет $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Острым внутренним углом называется угол $\alpha$, величина которого меньше $90^\circ$ ($\alpha < 90^\circ$). Если внутренний угол $\alpha$ является острым, то соответствующий ему внешний угол $\beta$ будет тупым:

$\beta = 180^\circ - \alpha > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, каждому острому внутреннему углу соответствует тупой внешний угол (угол, больший $90^\circ$).

Теперь предположим, что существует выпуклый многоугольник, у которого имеется четыре или более острых внутренних угла. Пусть их количество равно $k$, где $k \ge 4$.

Это означает, что у данного многоугольника есть по меньшей мере $k$ (то есть четыре или более) внешних углов, каждый из которых больше $90^\circ$.

Рассмотрим сумму только этих четырех внешних углов. Она будет строго больше, чем сумма четырех углов по $90^\circ$:

Сумма_частичная > $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.

Поскольку многоугольник является выпуклым, все его внутренние углы меньше $180^\circ$, а значит, все его внешние углы положительны. Следовательно, полная сумма всех внешних углов многоугольника будет еще больше, чем сумма этих четырех углов, то есть будет заведомо больше $360^\circ$.

Это приводит к противоречию, так как сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника должна быть в точности равна $360^\circ$.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. У выпуклого многоугольника не может быть четырех или более острых внутренних углов. Это означает, что их максимальное возможное количество равно трем.

Ответ: Утверждение доказано.