Номер 14, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Как расположены биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне?

Рассмотрим параллелограмм и два его угла, прилежащие к одной стороне. Обозначим эти углы как $\angle \alpha$ и $\angle \beta$. Согласно одному из ключевых свойств параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать: $\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ$.

Теперь проведем биссектрисы этих двух углов. Биссектриса делит угол на две равные части. Следовательно, биссектриса угла $\angle \alpha$ образует с прилежащей стороной угол, равный $\frac{\angle \alpha}{2}$, а биссектриса угла $\angle \beta$ образует с той же стороной угол, равный $\frac{\angle \beta}{2}$.

Эти две биссектрисы вместе с общей стороной параллелограмма образуют треугольник. Найдем третий угол этого треугольника, который является углом пересечения биссектрис. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Обозначим искомый угол между биссектрисами как $\angle \gamma$. Тогда для нашего треугольника справедливо равенство:

$\frac{\angle \alpha}{2} + \frac{\angle \beta}{2} + \angle \gamma = 180^\circ$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобку:

$\frac{1}{2}(\angle \alpha + \angle \beta) + \angle \gamma = 180^\circ$

Мы уже знаем, что $\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ$. Подставим это значение в наше уравнение:

$\frac{1}{2}(180^\circ) + \angle \gamma = 180^\circ$

$90^\circ + \angle \gamma = 180^\circ$

Отсюда находим угол $\angle \gamma$:

$\angle \gamma = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Таким образом, угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равен $90^\circ$. Это означает, что они расположены взаимно перпендикулярно.

Ответ: Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны (пересекаются под прямым углом).