Номер 12, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Найдите углы параллелограмма, если сумма двух из них равна:

а) $80^\circ$;

б) $100^\circ$;

в) $160^\circ$.

В параллелограмме есть две пары равных углов (противолежащие углы равны), а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Пусть в параллелограмме есть углы $\alpha$ и $\beta$. Тогда у него два угла равны $\alpha$ и два угла равны $\beta$, при этом выполняется свойство $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Рассмотрим, суммой каких двух углов может быть заданное значение:
1. Сумма двух прилежащих углов: $\alpha + \beta = 180^\circ$.
2. Сумма двух противолежащих (равных) углов. Это может быть либо сумма двух острых углов ($2\alpha$), либо сумма двух тупых углов ($2\beta$). Если угол $\alpha$ — острый ($\alpha < 90^\circ$), то их сумма $2\alpha < 180^\circ$. Если угол $\beta$ — тупой ($\beta > 90^\circ$), то их сумма $2\beta > 180^\circ$.

Во всех предложенных вариантах (80°, 100°, 160°) сумма меньше $180^\circ$. Это означает, что речь идет о сумме двух противолежащих острых углов параллелограмма.

а)

Дана сумма двух углов, равная $80^\circ$. Так как $80^\circ < 180^\circ$, это сумма двух равных противолежащих острых углов.
Найдем величину одного острого угла $\alpha$:
$2\alpha = 80^\circ$
$\alpha = 80^\circ / 2 = 40^\circ$
Теперь найдем величину смежного с ним тупого угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$
Таким образом, углы параллелограмма равны $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$.
Ответ: $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$.

б)

Дана сумма двух углов, равная $100^\circ$. Так как $100^\circ < 180^\circ$, это сумма двух равных противолежащих острых углов.
Найдем величину одного острого угла $\alpha$:
$2\alpha = 100^\circ$
$\alpha = 100^\circ / 2 = 50^\circ$
Теперь найдем величину смежного с ним тупого угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$
Таким образом, углы параллелограмма равны $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.
Ответ: $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.

в)

Дана сумма двух углов, равная $160^\circ$. Так как $160^\circ < 180^\circ$, это сумма двух равных противолежащих острых углов.
Найдем величину одного острого угла $\alpha$:
$2\alpha = 160^\circ$
$\alpha = 160^\circ / 2 = 80^\circ$
Теперь найдем величину смежного с ним тупого угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$
Таким образом, углы параллелограмма равны $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.
Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.