Номер 15, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Как расположены биссектрисы углов параллелограмма (с неравными смежными сторонами), противолежащих друг другу?

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором, согласно условию, длины смежных сторон не равны, то есть $AB \neq BC$. Необходимо выяснить взаимное расположение биссектрис противолежащих углов, а именно, пары биссектрис углов $A$ и $C$, и пары биссектрис углов $B$ и $D$.

Для решения воспользуемся свойством центральной симметрии параллелограмма. Любой параллелограмм имеет центр симметрии — точку пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку буквой $O$. Поворот на $180^\circ$ вокруг центра $O$ (центральная симметрия) является преобразованием, которое отображает параллелограмм на самого себя.

При таком повороте вершина $A$ переходит в вершину $C$, а вершина $C$ — в $A$. Аналогично, вершина $B$ переходит в вершину $D$, а $D$ — в $B$. Вследствие этого, угол при вершине $A$ ($\angle DAB$) отображается на угол при вершине $C$ ($\angle BCD$).

Так как при повороте угол $A$ переходит в угол $C$, то и биссектриса угла $A$ (обозначим ее $l_A$) переходит в биссектрису угла $C$ (обозначим ее $l_C$). Таким образом, центральная симметрия с центром в точке $O$ отображает прямую $l_A$ на прямую $l_C$.

Из свойств центральной симметрии следует, что если прямая при таком преобразовании отображается на другую прямую, то эти две прямые параллельны. Исключение составляет случай, когда прямая проходит через центр симметрии — в этом случае она отображается сама на себя.

Проверим, может ли биссектриса $l_A$ проходить через центр симметрии $O$. Если предположить, что $l_A$ проходит через точку $O$, то в треугольнике $ABD$ отрезок $AO$ является одновременно и биссектрисой угла $A$, и медианой (так как $O$ — середина диагонали $BD$). В треугольнике биссектриса является медианой тогда и только тогда, когда этот треугольник равнобедренный. Это означало бы, что стороны, выходящие из вершины $A$, равны: $AB = AD$. Однако по условию задачи смежные стороны параллелограмма не равны ($AB \neq AD$). Следовательно, наше предположение неверно, и биссектриса $l_A$ не проходит через центр симметрии $O$.

Поскольку прямая $l_A$ при центральной симметрии переходит в прямую $l_C$ и при этом не совпадает с ней, то эти прямые должны быть параллельны: $l_A \parallel l_C$.

Абсолютно те же рассуждения применимы и ко второй паре противолежащих углов, $B$ и $D$. При повороте на $180^\circ$ вокруг центра $O$ угол $B$ переходит в угол $D$, а значит, биссектриса $l_B$ переходит в биссектрису $l_D$. Биссектриса $l_B$ не проходит через центр $O$, так как в противном случае треугольник $ABC$ был бы равнобедренным с $AB = BC$, что противоречит условию. Следовательно, биссектрисы $l_B$ и $l_D$ также параллельны: $l_B \parallel l_D$.

Ответ: Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма (с неравными смежными сторонами) параллельны друг другу.