Номер 22, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Для доказательства воспользуемся геометрическим подходом.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Обозначим длины его сторон как $AB = CD = a$ и $BC = DA = b$.

Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Соединив эти точки последовательно, мы получим четырехугольник $KLMN$. Нам необходимо доказать, что четырехугольник $KLMN$ является ромбом.

По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны. Таким образом, наша задача сводится к доказательству равенства сторон: $KL = LM = MN = NK$.

Рассмотрим четыре треугольника, которые образуются в углах прямоугольника: $\triangle NAK$, $\triangle KBL$, $\triangle LCM$ и $\triangle MDN$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, все его углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$. Следовательно, все четыре треугольника являются прямоугольными.

Найдем длины катетов этих треугольников, исходя из того, что точки $K, L, M, N$ — середины сторон:

• $AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$
• $BL = LC = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$
• $CM = MD = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}$
• $DN = NA = \frac{DA}{2} = \frac{b}{2}$

Теперь сравним катеты четырех прямоугольных треугольников:

• $\triangle NAK$ имеет катеты $NA = \frac{b}{2}$ и $AK = \frac{a}{2}$.
• $\triangle KBL$ имеет катеты $KB = \frac{a}{2}$ и $BL = \frac{b}{2}$.
• $\triangle LCM$ имеет катеты $LC = \frac{b}{2}$ и $CM = \frac{a}{2}$.
• $\triangle MDN$ имеет катеты $MD = \frac{a}{2}$ и $DN = \frac{b}{2}$.

Все четыре треугольника равны между собой по двум катетам (признак равенства прямоугольных треугольников). То есть, $\triangle NAK \cong \triangle KBL \cong \triangle LCM \cong \triangle MDN$.

Стороны четырехугольника $KLMN$ являются гипотенузами этих равных треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны. Следовательно, их гипотенузы также равны:

$NK = KL = LM = MN$

Можно также явно вычислить длину каждой стороны по теореме Пифагора. Например, для стороны $KL$ в треугольнике $\triangle KBL$:

$KL^2 = KB^2 + BL^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$

$KL = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Аналогичные вычисления для остальных сторон дадут тот же результат, что подтверждает их равенство.

Поскольку все четыре стороны четырехугольника $KLMN$ равны, он по определению является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника, является ромбом, так как все его стороны равны. Они являются гипотенузами четырех равных прямоугольных треугольников, образованных в углах прямоугольника.