Номер 16, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отложены равные отрезки $AE = CF$. Докажите, что четырехугольник $BFDE$ является параллелограммом.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны $AB$ и $CD$ равны по длине и параллельны. Таким образом, мы имеем два условия: $AB = CD$ и $AB \parallel CD$.

Рассмотрим четырехугольник $BFDE$. Его стороны $EB$ и $FD$ являются частями сторон $AB$ и $CD$ исходного параллелограмма. Так как отрезки $EB$ и $FD$ лежат на параллельных прямых ($AB$ и $CD$), то они также параллельны друг другу: $EB \parallel FD$.

Теперь определим длины этих сторон. Длина отрезка $EB$ вычисляется как разность длин отрезков $AB$ и $AE$: $EB = AB - AE$.

Аналогично, длина отрезка $FD$ вычисляется как разность длин отрезков $CD$ и $CF$: $FD = CD - CF$.

По условию задачи нам дано, что $AE = CF$. Мы также знаем, что $AB = CD$, так как это противолежащие стороны параллелограмма. Заменив в выражении для $FD$ сторону $CD$ на равную ей $AB$ и отрезок $CF$ на равный ему $AE$, получим:

$FD = CD - CF = AB - AE$.

Сравнивая выражения для $EB$ и $FD$, видим, что они равны: $EB = FD$.

Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике $BFDE$ две противолежащие стороны, $EB$ и $FD$, равны ($EB = FD$) и параллельны ($EB \parallel FD$).

Согласно одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $BFDE$ — это параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.