Номер 18, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Постройте параллелограмм по двум сторонам и диагонали.

Для построения параллелограмма по двум сторонам и диагонали, исходящим из одной вершины, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений.

Пусть нам даны три отрезка, задающие длины двух смежных сторон $a$ и $b$ и длину диагонали $d$.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм. Примем, что $AB = a$, $BC = b$ и диагональ $AC = d$. Диагональ $AC$ разбивает параллелограмм на два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Стороны треугольника $\triangle ABC$ нам известны — это $AB=a$, $BC=b$ и $AC=d$. Следовательно, задача сводится к построению треугольника по трем заданным сторонам, а затем к достроению этого треугольника до параллелограмма.

Построение

1. Начнем с построения треугольника $\triangle ABC$ по трем сторонам $a$, $b$ и $d$.
а) Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
б) С помощью циркуля отмерим длину отрезка $a$ и отложим ее на прямой от точки $A$. Получим точку $B$. Таким образом, отрезок $AB$ — это первая сторона параллелограмма.
в) Измерим циркулем длину диагонали $d$. Установив острие циркуля в точку $A$, проведем дугу окружности радиусом $d$.
г) Измерим циркулем длину стороны $b$. Установив острие циркуля в точку $B$, проведем дугу окружности радиусом $b$.
д) Точка пересечения двух дуг будет третьей вершиной, назовем ее $C$. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Мы получили треугольник $\triangle ABC$.

2. Теперь найдем четвертую вершину параллелограмма — точку $D$. В параллелограмме $ABCD$ сторона $CD$ должна быть равна и параллельна стороне $AB$, а сторона $AD$ — равна и параллельна стороне $BC$.
а) Из точки $C$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $a$ ($AB$).
б) Из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $b$ ($BC$).
в) Точка пересечения этих двух дуг (та, что находится в другой полуплоскости относительно прямой $AC$, нежели точка $B$) и будет искомой вершиной $D$.

3. Соединим отрезками точки $A$ и $D$, а также $C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$. По построению мы имеем: $AB = a$ и $CD = a$, следовательно, $AB = CD$. Также по построению $BC = b$ и $AD = b$, следовательно, $BC = AD$. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Диагональ $AC$ равна $d$ по построению. Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Исследование

Задача имеет решение только в том случае, если возможно построить треугольник $\triangle ABC$ со сторонами $a$, $b$ и $d$. Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. То есть, должны выполняться три условия:
$a + b > d$
$a + d > b$
$b + d > a$
Если эти условия соблюдаются, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности). Если хотя бы одно из неравенств не выполняется (или обращается в равенство), то построить такой треугольник, а значит, и параллелограмм, невозможно.

Ответ: Искомый параллелограмм строится путем построения треугольника по трем заданным отрезкам (две стороны $a, b$ и диагональ $d$). Затем, на основе этого треугольника, достраивается вторая его половина — равный ему треугольник, имеющий общую сторону (диагональ $d$). Построение осуществимо только при условии, что длины отрезков $a, b, d$ удовлетворяют неравенству треугольника.